هناك خمسة أنواع رئيسية من المعادلات الجبرية ، تتميز بموضع المتغيرات ، و أنواع الحلول والوظائف المستخدمة ، وسلوك الرسوم البيانية الخاصة بهم ، و لكل نوع من المعادلات مدخلات متوقعة مختلفة و ينتج مخرجات بتفسير مختلف ، الاختلافات و التشابهات بين الأنواع الخمسة من المعادلات الجبرية و استخداماتها تدل على تنوع و قوة العمليات الجبرية.
أنواع المعادلات الجبريةمعادلات متعددة الحدود
المعادلات الأحادية و متعددو الحدود عبارة عن معادلات تتكون من مصطلحات متغيرة مع عدد الأسهر ، و يتم تصنيف متعددو الحدود بواسطة عدد المصطلحات في التعبير ، فبعضها لها مصطلح واحد ، ذات الحدين لها فصلين ، و بعض المعادلات لها ثلاثة فصول ، أي تعبير يحتوي على أكثر من مصطلح يسمى “كثير الحدود” ، و يتم تصنيف كثيرات الحدود أيضًا حسب الدرجة ، وهو عدد الأسس الأعلى في المعادلات ، و تسمى كثيرات الحدود ذات الدرجة الأولى و الثانية و الثالثة بالتعددات في المعادلات الخطية و المعادلات التربيعية و التكعيبية على التوالي ، و تسمى المعادلة x ^ 2 – x – 3 تربيعية ، كما تواجَه المعادلات التربيعية عادة في الجبر الأول و الثاني.
المعادلات الأسية
يتم تمييز المعادلات الأسية من كثيرات الحدود في أن لديهم مصطلحات متغيرة في الأسس ، مثال على المعادلة الأسية هو y = 3 ^ (x – 4) + 6 ، و تصنف الدوال الأسية كنمو أسي إذا كان للمتغير المستقل معامل موجب ، و تفسخ أسي إذا كان له معامل سلبي ، و تستخدم معادلات النمو المتسارعة لوصف انتشار السكان و الأمراض بالإضافة إلى المفاهيم المالية مثل الفائدة المركبة (صيغة الفائدة المركبة هي Pe ^ (rt) ، حيث P هو العنصر الأساسي ، r هو سعر الفائدة و t مقدار الوقت) ، و تصف معادلات الاضمحلال الأسي الظواهر مثل الاضمحلال الإشعاعي.
معادلات لوغاريتمية
الدوال اللوغاريتمية هي معكوس الدوال الأسية ، و بالنسبة إلى المعادلة y = 2 ^ x ، تكون الدالة العكسيّة y = log2 x ، و تساوي قاعدة log b من رقم x الأس الذي يجب رفعه للحصول على الرقم x ، و على سبيل المثال ، log2 من 16 هو 4 لأن 2 إلى الطاقة الرابعة هي 16 ، و يتم استخدام الرقم المتعالي “e” الأكثر استخدامًا كقاعدة لوغاريتمية ؛ قاعدة اللوغاريتم e عادة ما تسمى اللوغاريتم الطبيعي ، و تستخدم المعادلات اللوغاريتمية في العديد من أنواع مقاييس الشدة ، مثل مقياس ريختر للزلازل و مقياس الديسيبل لشدة الصوت ، و يستخدم مقياس الديسيبل قاعدة log 10 ، مما يعني أن زيادة ديسيبل واحد تقابل زيادة بمقدار عشرة أضعاف في كثافة الصوت.
المعادلات البوليانية
المعادلات البوليانية هي معادلات جبرية من النموذج p (x) / q (x) ، حيث p (x) و q (x) كلاهما متعدد الحدود ، مثال على المعادلة البوليانية هي (x – 4) / (x ^ 2 – 5x + 4) ، و هذا النوع من المعادلات تمتاز بوجود خطوط مقاربة ، و التي هي قيم y و x التي يقترب منها الرسم البياني للمعادلة ، و لكنها لا تصل أبداً ، و يمثل الخط المقارب الرأسي لمعادلة بوليانية قيمة x التي لا يصلها الرسم البياني أبدًا ، و القيمة y إما تذهب إلى اللانهاية الإيجابية أو السلبية حيث تقترب قيمة x من الخط المقارب ، و الخط التقارب الأفقي هو قيمة ص التي يقتربها الرسم البياني عندما ينتقل x إلى اللانهاية الإيجابية أو السلبية.
المعادلات المثلثية
تحتوي المعادلات المثلثية على الدوال المثلثية sin ، cos ، tan ، sec ، csc و cot. تصف الدوال المثلثية النسبة بين جانبي المثلث الأيمن ، مع أخذ قياس الزاوية كمدخل أو متغير مستقل و نسبة كمتغير الإخراج أو المتغير ، و على سبيل المثال ، يصف y = sin x نسبة الجانب المقابل للمثلث الأيمن إلى الوتر لزاوية القياس x ، و تختلف الدوال المثلثية في أنها دورية ، أي أن الرسم البياني يتكرر بعد فترة معينة من الزمن ، و الرسم البياني لموجة جيبية قياسية لديه فترة 360 درجة.
المعادلات الجبرية
المعادلات الجبرية من اهم المخترعات التي قدمها العرب المسلمين في العصر الذهبي ، و قد كان اشهر من شرح هذه المعادلات الخوارزمي ، و لذلك سميت بعض المعادلات باسمه “الخوارزميات” ، و هذه المعادلات تعتبر أحد الأسس التي يقوم عليها علم الجبر ، ذلك العلم الذي يعد أحد أهم العلوم التي يقوم عليها الرياضيات ، و قد قدم الخوارزمي العديد من المعادلات الهامة و القواعد الأساسية ، هذا فضلا عن اسهاماته في العديد من المجالات الاخرى ، و منها الفلك و الطب و غيرها.
أنواع المعادلات الجبريةمعادلات متعددة الحدود
المعادلات الأحادية و متعددو الحدود عبارة عن معادلات تتكون من مصطلحات متغيرة مع عدد الأسهر ، و يتم تصنيف متعددو الحدود بواسطة عدد المصطلحات في التعبير ، فبعضها لها مصطلح واحد ، ذات الحدين لها فصلين ، و بعض المعادلات لها ثلاثة فصول ، أي تعبير يحتوي على أكثر من مصطلح يسمى “كثير الحدود” ، و يتم تصنيف كثيرات الحدود أيضًا حسب الدرجة ، وهو عدد الأسس الأعلى في المعادلات ، و تسمى كثيرات الحدود ذات الدرجة الأولى و الثانية و الثالثة بالتعددات في المعادلات الخطية و المعادلات التربيعية و التكعيبية على التوالي ، و تسمى المعادلة x ^ 2 – x – 3 تربيعية ، كما تواجَه المعادلات التربيعية عادة في الجبر الأول و الثاني.
المعادلات الأسية
يتم تمييز المعادلات الأسية من كثيرات الحدود في أن لديهم مصطلحات متغيرة في الأسس ، مثال على المعادلة الأسية هو y = 3 ^ (x – 4) + 6 ، و تصنف الدوال الأسية كنمو أسي إذا كان للمتغير المستقل معامل موجب ، و تفسخ أسي إذا كان له معامل سلبي ، و تستخدم معادلات النمو المتسارعة لوصف انتشار السكان و الأمراض بالإضافة إلى المفاهيم المالية مثل الفائدة المركبة (صيغة الفائدة المركبة هي Pe ^ (rt) ، حيث P هو العنصر الأساسي ، r هو سعر الفائدة و t مقدار الوقت) ، و تصف معادلات الاضمحلال الأسي الظواهر مثل الاضمحلال الإشعاعي.
معادلات لوغاريتمية
الدوال اللوغاريتمية هي معكوس الدوال الأسية ، و بالنسبة إلى المعادلة y = 2 ^ x ، تكون الدالة العكسيّة y = log2 x ، و تساوي قاعدة log b من رقم x الأس الذي يجب رفعه للحصول على الرقم x ، و على سبيل المثال ، log2 من 16 هو 4 لأن 2 إلى الطاقة الرابعة هي 16 ، و يتم استخدام الرقم المتعالي “e” الأكثر استخدامًا كقاعدة لوغاريتمية ؛ قاعدة اللوغاريتم e عادة ما تسمى اللوغاريتم الطبيعي ، و تستخدم المعادلات اللوغاريتمية في العديد من أنواع مقاييس الشدة ، مثل مقياس ريختر للزلازل و مقياس الديسيبل لشدة الصوت ، و يستخدم مقياس الديسيبل قاعدة log 10 ، مما يعني أن زيادة ديسيبل واحد تقابل زيادة بمقدار عشرة أضعاف في كثافة الصوت.
المعادلات البوليانية
المعادلات البوليانية هي معادلات جبرية من النموذج p (x) / q (x) ، حيث p (x) و q (x) كلاهما متعدد الحدود ، مثال على المعادلة البوليانية هي (x – 4) / (x ^ 2 – 5x + 4) ، و هذا النوع من المعادلات تمتاز بوجود خطوط مقاربة ، و التي هي قيم y و x التي يقترب منها الرسم البياني للمعادلة ، و لكنها لا تصل أبداً ، و يمثل الخط المقارب الرأسي لمعادلة بوليانية قيمة x التي لا يصلها الرسم البياني أبدًا ، و القيمة y إما تذهب إلى اللانهاية الإيجابية أو السلبية حيث تقترب قيمة x من الخط المقارب ، و الخط التقارب الأفقي هو قيمة ص التي يقتربها الرسم البياني عندما ينتقل x إلى اللانهاية الإيجابية أو السلبية.
المعادلات المثلثية
تحتوي المعادلات المثلثية على الدوال المثلثية sin ، cos ، tan ، sec ، csc و cot. تصف الدوال المثلثية النسبة بين جانبي المثلث الأيمن ، مع أخذ قياس الزاوية كمدخل أو متغير مستقل و نسبة كمتغير الإخراج أو المتغير ، و على سبيل المثال ، يصف y = sin x نسبة الجانب المقابل للمثلث الأيمن إلى الوتر لزاوية القياس x ، و تختلف الدوال المثلثية في أنها دورية ، أي أن الرسم البياني يتكرر بعد فترة معينة من الزمن ، و الرسم البياني لموجة جيبية قياسية لديه فترة 360 درجة.
المعادلات الجبرية
المعادلات الجبرية من اهم المخترعات التي قدمها العرب المسلمين في العصر الذهبي ، و قد كان اشهر من شرح هذه المعادلات الخوارزمي ، و لذلك سميت بعض المعادلات باسمه “الخوارزميات” ، و هذه المعادلات تعتبر أحد الأسس التي يقوم عليها علم الجبر ، ذلك العلم الذي يعد أحد أهم العلوم التي يقوم عليها الرياضيات ، و قد قدم الخوارزمي العديد من المعادلات الهامة و القواعد الأساسية ، هذا فضلا عن اسهاماته في العديد من المجالات الاخرى ، و منها الفلك و الطب و غيرها.
