الاعداد المركبة
الأعداد المركبة هي كميات مجردة مفيدة يمكن استخدامها في الحسابات وتؤدي إلى حلول ذات مغزى، ومع ذلك فإن الاعتراف بهذه الحقيقة هو الذي استغرق وقتًا طويلاً لكي يقبل به علماء الرياضيات،على سبيل المثال ، كتب جون واليس ، “هذه الكميات الوهمية (كما يطلق عليها عادة) التي تنشأ من الجذر المفترض للساحة السلبية (عند حدوثها) يشار إليها على أنها تعني أن الحالة المقترحة مستحيلة”، والعدد المركب هو أي عدد ع يمكن كتابته على الصورة: ع = أ +ب ت حيث أ، ب هي أعداد حقيقية، و ت = جذر ال -1 ويسمى أ الجزء الحقيقي من العدد المركب، و ب الجزء التخيلي من العدد المركب.
أهمية الأعداد المركبة
أخذت الأعداد المركبة مكانة كبيرة فى الرياضيات، كما أنها تلعب دورا هاما فى التطبيقات العلمية المختلفة، فالاعداد المركبة تستخدم فى ميادين الكهرباء و الديناميكا والنظرية النسبية وغالبية ميادين الفيزياء تقريبا، وقد صنف الرياضيون الأعداد إلى، مجموعات متداخلة وهى مجموعة الأعداد الطبيعية والصحيحة و النسبية والمركبة، لكن تعد مجموعة الأعداد المركبة هي أكثر المجموعات صعوبة على الفهم وذلك بسبب أنها تتضمن الأعداد التخيلية، ويمكننا تعريف مجموعة الأعداد المركبة “ك” بالشكل التالي: ك = { ع: ع= أ+ ب ت حيث أ، ب تنتميان ل ح، ت= جذر ال -1 } .
والأعداد المركبة لا توجد فى الطبيعة مثلها مثل الأعداد السالبة، حيث أن هناك فرقا بين العلوم التي تعتمد على الواقع وهي العلوم الإنسانية والطبيعية، وبين علوم الرياضيات التي ترتبط بالعقل وامكاناته التخيلية الواسعة حيث يمكن للعقل ربط تلك التخيلات ربطا منطقيا سليما لا تناقض فيه لذلك فأن الأعداد المركبة ومعظم الرياضيات تنتمي إلى منطقة التخيل العقلي.
العمليات الحسابية على الأعداد المركبة
تتم العمليات الحسابية على أي أعداد مركبة، كما يلي
1 ـ العنصر ( أ ) والعنصر ( ب) هو عدد حقيقي.
2 ـ العنصر(ت) هو عدد جذري لسالب الواحد، وعليه فإن العنصر (أ) بمفرده فهو جزء حقيقي من عدد مركب، والعنصر (ب) هو جزء تخيلي أيضاً من عدد مركب.
3ـ يمكننا أن نعبر عن أي مجموعة أعداد مركبة والتي يشار إليها بالرمز ك بالمعادلة التالية، ك = ( ع: ع= أ+ ب ت) حيث أن ( أ – ب تنتميان لـ ح – ت= جذر ال -1 ).
4ـ أي عدد من الأعداد المركبة يتم كتابته بطريقة موحدة على صورة ( أ + ب × ت )، لذلك يعين العدد المركب بواسطة ثنائي مرتب من أعداد حقيقية هى ( أ – ب ) وهو ما يمكن تمثيله بيانيا في الإحداثيات الخاصة بالرسم البياني.
5ـ تتساوى الأعداد المركبة بالمعادلة التالية ( ع1 =أ+ب ت، و ع2 =ج+ د ت، إذا وفقط إذا كان أ=ج، و ب=د ).
عملية جمع الأعداد المركبة
عند إجراء عملية جمع لأي أعداد مركبة يتم ذلك عن طريق المعادلة التالية ( ع1 = أ+ب ت – و ع 2 = ج + د ت – من خلال العلاقة الآتية (أ+ج) + (ب+د) ت ) مع الوضع في الإعتبار أن أي عملية جمع على أي أعداد مركبة هى عملية تجميعية ومغلقة وفي نفس الوقت تبديلية، إضافة إلى أن لها ما يخصها من النظير الجمعي والعنصر المحايد.
عملية طرح الأعداد المركبة
تتم عملية الطرح على أي أعداد مركبة عن طريق المعادلة الآتية (ع1=أ+ب ت، و ع2 =ج+د ت) ويتم الطرح من خلال علاقة ما يأتي (أ-ج) + (ب-د) ت).
عملية ضرب الأعداد المركبة
عند إجراء أي عملية يتم فيها ضرب الأعداد المركبة لابد من تطبيق المعادلة الآتية ( ع1=أ+ب ت، و ع2 = ج+د ت ) عن طريق العلاقة الآتية ( أ ج – ب د) + (أ د + ب ج) ت ) مع الوضع في الاعتبار أن أي عملية ضرب أي أعداد مركبة هى عملية تجميعية ومغلقة وفي نفس الوقت تبديلية، إضافة إلى أن لها ما يخصها من النظير الجمعي والعنصر المحايد.
عملية قسمة الأعداد المركبة
للقسمة بين الأعداد المركبة، لابد من إجراء عملية ضرب للمقام والبسط، ويتم ذلك أيضاً بضرب المرافق للمقام، وتتم هذه العملية حتى يتحول المقام إلى عدد حقيقي، مثال على ذلك ( ع1 =س1 + ص1 ت، ع2 = س2 + ص2 ت، حيث أن ع2 لا يساوي صفر، فإن ع1ع2 س1 + ص1 ت س2 + ص2 ت) × (س2 – ص2 ت س2 – ص2 ت ).
التمثيل البياني للأعداد المركبة
كل عدد مركب يكتب بطريقة وحيدة على الصورة أ+ب ت، لذلك يعين العدد بواسطة زوج مرتب من الأعداد الحقيقية (أ،ب) يمكن تمثيله إما بنقطة في المستوى الديكارتي، إحداثياتها (أ،ب) أو بالمتجه القياسي الذي يبدأ من نقطة الأصل، وينتهي بالنقطة التي إحداثياتها (أ،ب)، ويسمى المستوى الإحداثي (الديكارتي) نتيجة هذا التمثيل بمستوى الأعداد المركبة أو مستوى آرجاند، ويطلق على المحور الرأسي اسم المحور التخيلي، ويطلق على المحور الأفقي اسم المحور الحقيقي.
الأعداد المركبة هي كميات مجردة مفيدة يمكن استخدامها في الحسابات وتؤدي إلى حلول ذات مغزى، ومع ذلك فإن الاعتراف بهذه الحقيقة هو الذي استغرق وقتًا طويلاً لكي يقبل به علماء الرياضيات،على سبيل المثال ، كتب جون واليس ، “هذه الكميات الوهمية (كما يطلق عليها عادة) التي تنشأ من الجذر المفترض للساحة السلبية (عند حدوثها) يشار إليها على أنها تعني أن الحالة المقترحة مستحيلة”، والعدد المركب هو أي عدد ع يمكن كتابته على الصورة: ع = أ +ب ت حيث أ، ب هي أعداد حقيقية، و ت = جذر ال -1 ويسمى أ الجزء الحقيقي من العدد المركب، و ب الجزء التخيلي من العدد المركب.
أهمية الأعداد المركبة
أخذت الأعداد المركبة مكانة كبيرة فى الرياضيات، كما أنها تلعب دورا هاما فى التطبيقات العلمية المختلفة، فالاعداد المركبة تستخدم فى ميادين الكهرباء و الديناميكا والنظرية النسبية وغالبية ميادين الفيزياء تقريبا، وقد صنف الرياضيون الأعداد إلى، مجموعات متداخلة وهى مجموعة الأعداد الطبيعية والصحيحة و النسبية والمركبة، لكن تعد مجموعة الأعداد المركبة هي أكثر المجموعات صعوبة على الفهم وذلك بسبب أنها تتضمن الأعداد التخيلية، ويمكننا تعريف مجموعة الأعداد المركبة “ك” بالشكل التالي: ك = { ع: ع= أ+ ب ت حيث أ، ب تنتميان ل ح، ت= جذر ال -1 } .
والأعداد المركبة لا توجد فى الطبيعة مثلها مثل الأعداد السالبة، حيث أن هناك فرقا بين العلوم التي تعتمد على الواقع وهي العلوم الإنسانية والطبيعية، وبين علوم الرياضيات التي ترتبط بالعقل وامكاناته التخيلية الواسعة حيث يمكن للعقل ربط تلك التخيلات ربطا منطقيا سليما لا تناقض فيه لذلك فأن الأعداد المركبة ومعظم الرياضيات تنتمي إلى منطقة التخيل العقلي.
العمليات الحسابية على الأعداد المركبة
تتم العمليات الحسابية على أي أعداد مركبة، كما يلي
1 ـ العنصر ( أ ) والعنصر ( ب) هو عدد حقيقي.
2 ـ العنصر(ت) هو عدد جذري لسالب الواحد، وعليه فإن العنصر (أ) بمفرده فهو جزء حقيقي من عدد مركب، والعنصر (ب) هو جزء تخيلي أيضاً من عدد مركب.
3ـ يمكننا أن نعبر عن أي مجموعة أعداد مركبة والتي يشار إليها بالرمز ك بالمعادلة التالية، ك = ( ع: ع= أ+ ب ت) حيث أن ( أ – ب تنتميان لـ ح – ت= جذر ال -1 ).
4ـ أي عدد من الأعداد المركبة يتم كتابته بطريقة موحدة على صورة ( أ + ب × ت )، لذلك يعين العدد المركب بواسطة ثنائي مرتب من أعداد حقيقية هى ( أ – ب ) وهو ما يمكن تمثيله بيانيا في الإحداثيات الخاصة بالرسم البياني.
5ـ تتساوى الأعداد المركبة بالمعادلة التالية ( ع1 =أ+ب ت، و ع2 =ج+ د ت، إذا وفقط إذا كان أ=ج، و ب=د ).
عملية جمع الأعداد المركبة
عند إجراء عملية جمع لأي أعداد مركبة يتم ذلك عن طريق المعادلة التالية ( ع1 = أ+ب ت – و ع 2 = ج + د ت – من خلال العلاقة الآتية (أ+ج) + (ب+د) ت ) مع الوضع في الإعتبار أن أي عملية جمع على أي أعداد مركبة هى عملية تجميعية ومغلقة وفي نفس الوقت تبديلية، إضافة إلى أن لها ما يخصها من النظير الجمعي والعنصر المحايد.
عملية طرح الأعداد المركبة
تتم عملية الطرح على أي أعداد مركبة عن طريق المعادلة الآتية (ع1=أ+ب ت، و ع2 =ج+د ت) ويتم الطرح من خلال علاقة ما يأتي (أ-ج) + (ب-د) ت).
عملية ضرب الأعداد المركبة
عند إجراء أي عملية يتم فيها ضرب الأعداد المركبة لابد من تطبيق المعادلة الآتية ( ع1=أ+ب ت، و ع2 = ج+د ت ) عن طريق العلاقة الآتية ( أ ج – ب د) + (أ د + ب ج) ت ) مع الوضع في الاعتبار أن أي عملية ضرب أي أعداد مركبة هى عملية تجميعية ومغلقة وفي نفس الوقت تبديلية، إضافة إلى أن لها ما يخصها من النظير الجمعي والعنصر المحايد.
عملية قسمة الأعداد المركبة
للقسمة بين الأعداد المركبة، لابد من إجراء عملية ضرب للمقام والبسط، ويتم ذلك أيضاً بضرب المرافق للمقام، وتتم هذه العملية حتى يتحول المقام إلى عدد حقيقي، مثال على ذلك ( ع1 =س1 + ص1 ت، ع2 = س2 + ص2 ت، حيث أن ع2 لا يساوي صفر، فإن ع1ع2 س1 + ص1 ت س2 + ص2 ت) × (س2 – ص2 ت س2 – ص2 ت ).
التمثيل البياني للأعداد المركبة
كل عدد مركب يكتب بطريقة وحيدة على الصورة أ+ب ت، لذلك يعين العدد بواسطة زوج مرتب من الأعداد الحقيقية (أ،ب) يمكن تمثيله إما بنقطة في المستوى الديكارتي، إحداثياتها (أ،ب) أو بالمتجه القياسي الذي يبدأ من نقطة الأصل، وينتهي بالنقطة التي إحداثياتها (أ،ب)، ويسمى المستوى الإحداثي (الديكارتي) نتيجة هذا التمثيل بمستوى الأعداد المركبة أو مستوى آرجاند، ويطلق على المحور الرأسي اسم المحور التخيلي، ويطلق على المحور الأفقي اسم المحور الحقيقي.
