الأعداد هي الوحدة الأساسية بعلم الرياضيات وهي تصنف لعدة أنواع، منها الأعداد الطبيعية والأعداد الصحيحة والكسور العشرية، وأيضاً تصنف كأعداد أولوية وغير أولية، فماذا نعني بمصطلح الأعداد الأولية والأعداد غير الأولية؟
الأعداد الأولية
العدد الأولي أو ما يطلق العدد الأول، هو عدد طبيعي يحمل قيمة أكبر قطعاً من 1، وهو لا يقبل القسمة إلا على نفس قيمته وعلى واحد فقط، يعتبر كل عدد طبيعي أكبر قطعاً من 1 وكل عدد غير أولي عددا مؤلفاً.
على سبيل المثال لا الحصر، 5 هو عدد أولي لأنه لا يمكن أن يقبل القسمة إلا على 1 وعلى 5، بينما 6 هو عدد يحمل لقب العدد مؤلف لأنه قابل للقسم على 1، وعلى ،2 وعلى 3 وعلى 6.
تعمل المبرهنة الأساسية في الحسابيات الدور الرئيسي والمركزي للأعداد الأولية بنظرية الأعداد : “كل عدد صحيح طبيعي أكبر قطعا من 1 يساوي جداء مجموعة وحيدة ما من الأعداد الأولية (بغض النظر إلي ترتيب هؤلاء الأعداد داخل المجموعة)”. هذه المبرهنة تلزم إقصاء العدد 1 من لائحة الأعداد الأولية.
لتحديد أولية أي عدد ما، توجد طرق سهلة ولكنها قد تكون بطيئة، تسمى أحد تلك الطرق بالقسمة المتكررة، وتتمثل في عملية قسمة هذا العدد على الأرقام المحصورة بين 2 وأيضاً الجذر التربيعي لعدد معين، توجد خوارزميات وآليات أخرى أكثر فعالية وأثر من القسمة، تستخدم في تحديد أولية الأعداد الكبرى، وخصوصاً عندما يتعلق الأمر بأرقام ذات شكل خاص ومميز كأعداد “ميرسين الأولية”، ونجد أن بحلول 21 دجنبر 2018، تألف أكبر عدد أولي تم الوصول إليه من 24,862,048 رقم.
مجموعة الأعداد الأولية هي مجموعة غير منتهية، وقد برهن على ذلك العالم أقليدس في حوالي عام 300 قبل الميلاد، فهي لا تعرف صيغة ما، كل قيمها أعداد أولية. ولكن التوزيع الخاص بالأعداد الأولية يمكن أن يخضع لآلية الدرس وأن تقام حوله عدد من النظريات.
أول مبرهنة تذهب بهذا الاتجاه هي المبرهنة التابعة الأعداد الأولية، والتي بُرهن عليها بنهاية القرن التاسع عشر والتي على أساسها يقام احتمال أن يكون أي عدد طبيعي ما n، تم اختياره بصفة عشوائية، أولية، يتناسب ذلك عكسياً مع عدد الأرقام الذي يحتوي عليها هذا العدد، وبتعبير الآخر يتناسب عكسياً مع ذلك اللوغاريتم الطبيعي ل n..
خضعت الأعداد الأولية لعدة بحوث عديدة، وبذلك تظل الكثير من الأسئلة الأساسية أمثلة فرضية ريمان وفرضية حدسية غولدباخ التي تنص على كون أن أي عدد زوجي هو أكبر قطعاً من 2، يمكن أن يتم كتابته على شكل مجموع من عددين أوليين، ونجد أن حدسية الأعداد الأولية التوأم والتي تنص على كون عدد أزواج الأعداد الأولية والتي يكون الفارق بينهما مساوياً ل2 هو عدد غير منتهي، وتوجد مسائل ليست محلولة حتى الآن بالرغم من مرور الكثير من القرون على طرحها، السبب الأساسي يعود إلى حالة من عدم فهم العلماء آلية توزيع الأعداد الأولية.
هذا على عكس الأعداد الفردية والزوجية، على سبيل المثال. كانت تلك المعضلات سبباً في تطورات عديدة عرفتها نظرية الأعداد، والتي اهتمت بالخصائص الجبرية والخصائص التحليلية للأعداد، تستعمل الأعداد الأولية في عدد من المجالات في تكنولوجيا المعلومات، كالتشفير باستخدام المفتاح المعلن.
تعتمد أساساً هذه التقنية على خصائص مميزة ومعينة كصعوبة تعمل تلك الأعداد الكبيرة إلى جداء من الأعداد الأولية.
الأعداد غير الأولية
العدد غير الأولي أو مما يلق عليه العدد المؤلف وأيضاً يحمل لقب العدد المركب، بالإنجليزية: Composite number، هو العدد الصحيح الموجب ذو القواسم الغير بديهية، يمكن التعبير عنه من خلال ضرب عددين صحيحين قيمتهم أصغر منه، وكل عدد يطلق عليه غير أولي إذا كان لديه القابلية للقسمة على عدد واحد كحد أدني غير الواحد ونفسه، بذلك يكون كل عدد صحيح قيمته أكبر من الواحد إما هو عدد أوليا إما مركبا، أما العددان صفر و واحد فلا يحملان صفات الأعداد المركبة أو الأعداد الأولية.
على سبيل المثال لا الحصر:
-العدد 14 هو عدد مركب لأنه ناتج عن حاصل ضرب عددين صحيحين هم أصغر منه، وهما 2 و 7.
-العدد 21 هو عدد مركب لأنه يمكن كتابته جداء العوامل 3 و 7 حيث نجد أن كل من 7 و 3 هي قواسم غير بديهية لهذا العدد 21.
-العددان 2 و 3 عكس ذلك، فهما ليسا مركبين لأنهم لا تصلح كتابتهم إلا بصيغة 1*2 أو 3*1، وكذلك الرقم 11 فهو عدد لا بحمل سمات الرقم المركب، فهو عدد غير مركب (أولي) لأنه لا يمكن أن نكتبه إلا في صورة 11*1 فقط، وهذه العوامل تعتبر قواسم بديهية للرقم 11.
مثال توضيحي لعملية تحليل عدد صحيح، نجد أن 864 = 25 × 33.
نجد أيضاً أن قواسم العدد 150 هي :
4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 70, 72, 74, 75, 76, 77, 78, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 98, 99, 100, 102, 104, 105, 106, 108, 110, 111, 112, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 128, 129, 130, 132, 133, 134, 135, 136, 138, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 150. (متسلسلة A002808 في OEIS)
كل عدد غير أولي (عدد مركب) نستطيع صياغته بصورة حاصل ضرب عددين أو أكثر، فعلى سبيل المثال العدد المركب 299 يمكن أن نكتبه في شكل 13*23، وكذلك الرقم المركب ٣٦٠ يمكن أن نستخدم المبرهنة الأساسية في الحسابات لكتابته في الصيغة التالية 23 × 32 × 5.
وسنجد أنه متاح العديد من الاختبارات بغرض معرفة هل الرقم أولي أم مركب، دون الحاجة إلى تحليل الرقم بغرض معرفة قواسمه المشتركة.
الأعداد الأولية
العدد الأولي أو ما يطلق العدد الأول، هو عدد طبيعي يحمل قيمة أكبر قطعاً من 1، وهو لا يقبل القسمة إلا على نفس قيمته وعلى واحد فقط، يعتبر كل عدد طبيعي أكبر قطعاً من 1 وكل عدد غير أولي عددا مؤلفاً.
على سبيل المثال لا الحصر، 5 هو عدد أولي لأنه لا يمكن أن يقبل القسمة إلا على 1 وعلى 5، بينما 6 هو عدد يحمل لقب العدد مؤلف لأنه قابل للقسم على 1، وعلى ،2 وعلى 3 وعلى 6.
تعمل المبرهنة الأساسية في الحسابيات الدور الرئيسي والمركزي للأعداد الأولية بنظرية الأعداد : “كل عدد صحيح طبيعي أكبر قطعا من 1 يساوي جداء مجموعة وحيدة ما من الأعداد الأولية (بغض النظر إلي ترتيب هؤلاء الأعداد داخل المجموعة)”. هذه المبرهنة تلزم إقصاء العدد 1 من لائحة الأعداد الأولية.
لتحديد أولية أي عدد ما، توجد طرق سهلة ولكنها قد تكون بطيئة، تسمى أحد تلك الطرق بالقسمة المتكررة، وتتمثل في عملية قسمة هذا العدد على الأرقام المحصورة بين 2 وأيضاً الجذر التربيعي لعدد معين، توجد خوارزميات وآليات أخرى أكثر فعالية وأثر من القسمة، تستخدم في تحديد أولية الأعداد الكبرى، وخصوصاً عندما يتعلق الأمر بأرقام ذات شكل خاص ومميز كأعداد “ميرسين الأولية”، ونجد أن بحلول 21 دجنبر 2018، تألف أكبر عدد أولي تم الوصول إليه من 24,862,048 رقم.
مجموعة الأعداد الأولية هي مجموعة غير منتهية، وقد برهن على ذلك العالم أقليدس في حوالي عام 300 قبل الميلاد، فهي لا تعرف صيغة ما، كل قيمها أعداد أولية. ولكن التوزيع الخاص بالأعداد الأولية يمكن أن يخضع لآلية الدرس وأن تقام حوله عدد من النظريات.
أول مبرهنة تذهب بهذا الاتجاه هي المبرهنة التابعة الأعداد الأولية، والتي بُرهن عليها بنهاية القرن التاسع عشر والتي على أساسها يقام احتمال أن يكون أي عدد طبيعي ما n، تم اختياره بصفة عشوائية، أولية، يتناسب ذلك عكسياً مع عدد الأرقام الذي يحتوي عليها هذا العدد، وبتعبير الآخر يتناسب عكسياً مع ذلك اللوغاريتم الطبيعي ل n..
خضعت الأعداد الأولية لعدة بحوث عديدة، وبذلك تظل الكثير من الأسئلة الأساسية أمثلة فرضية ريمان وفرضية حدسية غولدباخ التي تنص على كون أن أي عدد زوجي هو أكبر قطعاً من 2، يمكن أن يتم كتابته على شكل مجموع من عددين أوليين، ونجد أن حدسية الأعداد الأولية التوأم والتي تنص على كون عدد أزواج الأعداد الأولية والتي يكون الفارق بينهما مساوياً ل2 هو عدد غير منتهي، وتوجد مسائل ليست محلولة حتى الآن بالرغم من مرور الكثير من القرون على طرحها، السبب الأساسي يعود إلى حالة من عدم فهم العلماء آلية توزيع الأعداد الأولية.
هذا على عكس الأعداد الفردية والزوجية، على سبيل المثال. كانت تلك المعضلات سبباً في تطورات عديدة عرفتها نظرية الأعداد، والتي اهتمت بالخصائص الجبرية والخصائص التحليلية للأعداد، تستعمل الأعداد الأولية في عدد من المجالات في تكنولوجيا المعلومات، كالتشفير باستخدام المفتاح المعلن.
تعتمد أساساً هذه التقنية على خصائص مميزة ومعينة كصعوبة تعمل تلك الأعداد الكبيرة إلى جداء من الأعداد الأولية.
الأعداد غير الأولية
العدد غير الأولي أو مما يلق عليه العدد المؤلف وأيضاً يحمل لقب العدد المركب، بالإنجليزية: Composite number، هو العدد الصحيح الموجب ذو القواسم الغير بديهية، يمكن التعبير عنه من خلال ضرب عددين صحيحين قيمتهم أصغر منه، وكل عدد يطلق عليه غير أولي إذا كان لديه القابلية للقسمة على عدد واحد كحد أدني غير الواحد ونفسه، بذلك يكون كل عدد صحيح قيمته أكبر من الواحد إما هو عدد أوليا إما مركبا، أما العددان صفر و واحد فلا يحملان صفات الأعداد المركبة أو الأعداد الأولية.
على سبيل المثال لا الحصر:
-العدد 14 هو عدد مركب لأنه ناتج عن حاصل ضرب عددين صحيحين هم أصغر منه، وهما 2 و 7.
-العدد 21 هو عدد مركب لأنه يمكن كتابته جداء العوامل 3 و 7 حيث نجد أن كل من 7 و 3 هي قواسم غير بديهية لهذا العدد 21.
-العددان 2 و 3 عكس ذلك، فهما ليسا مركبين لأنهم لا تصلح كتابتهم إلا بصيغة 1*2 أو 3*1، وكذلك الرقم 11 فهو عدد لا بحمل سمات الرقم المركب، فهو عدد غير مركب (أولي) لأنه لا يمكن أن نكتبه إلا في صورة 11*1 فقط، وهذه العوامل تعتبر قواسم بديهية للرقم 11.
مثال توضيحي لعملية تحليل عدد صحيح، نجد أن 864 = 25 × 33.
نجد أيضاً أن قواسم العدد 150 هي :
4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 70, 72, 74, 75, 76, 77, 78, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 98, 99, 100, 102, 104, 105, 106, 108, 110, 111, 112, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 128, 129, 130, 132, 133, 134, 135, 136, 138, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 150. (متسلسلة A002808 في OEIS)
كل عدد غير أولي (عدد مركب) نستطيع صياغته بصورة حاصل ضرب عددين أو أكثر، فعلى سبيل المثال العدد المركب 299 يمكن أن نكتبه في شكل 13*23، وكذلك الرقم المركب ٣٦٠ يمكن أن نستخدم المبرهنة الأساسية في الحسابات لكتابته في الصيغة التالية 23 × 32 × 5.
وسنجد أنه متاح العديد من الاختبارات بغرض معرفة هل الرقم أولي أم مركب، دون الحاجة إلى تحليل الرقم بغرض معرفة قواسمه المشتركة.
