النسبة : النسبة هي مصطلح رياضي بين كميتين مقاستين أو عددين، و يتم التعبير عنها في صورة كسر (أ/ب) أو في صورة (أ:ب) و تقال أ إلى ب، و أ هو مقدم النسبة و ب هي تالي النسبة، و أ و ب هما الحدين للنسبة.
عندما تكون المقارنة بين كميتين لهما نفس وحدة القياس مثل أن نقول نسبة طول كذا إلى طول كذا، أو وزن شئ إلى وزن شئ أخر، في هذه الحالة تكون بدون وحدة قياس، أما عند الإختلاف في وحدات القياس بين المقدم للنسبة و التالي للنسبة فيتم إستخدام وحدة قياس المقدم إلى وحدة قياس التالي، مثل السرعة هي عبارة عن نسبة المسافة إلى الزمن.
خواص النسبة
– عندما نقوم بضرب الحدين في نفس الرقم فيما عدا الصفر، فإن القيمة النهائية للنسبة تبقى كما هي و لا تتغير ، مثال 7:3 هي نسبة
– عندما نقوم بضرب الحدين للنسبة في 2 يكون الناتج 14:6 نجد أن القيمة النهائية للنسبة لم تتغير.
-عندما نقوم بقسمة حدي النسبة على نفس الرقم فيما عدا الصفر فإن القيمة النهائية للنسبة تظل كما هي و لا تتغير ، مثال:12:3 هي نسبة
– إذا قمنا بقسمة الحدين على الرقم 3 يكون الناتج هو 4:1 و نجد أن القيمة النهائية ظلت كما هي و لم تتغير.
-أما في حالة الجمع و الطرح فعند إضافة نفس الرقم لحدي نسبة أو طرحه فإن القيمة النهائية للنسبة سوف تتغي فمثلا 3:1 عند إضافة الرقم 2 إلى حديها يكون الناتج 5:3 و نجد أن النسبتين مختلفتين في القيمة، و كذلك نفس الأمر في حالة الطرح فعند ما نقوم بطرح الرقم 3 من الحدين 7:5 يكون الناتج 4:2 و نجد أن النسبتين غير متساويتين في القيمة.
أمثلة على النسبة
1- إذا كانت س:ص تساوي 3:8 ، و كانت س تساوي 9، فما هي قيمة ص؟
الحل:
9:ص=3:8
نقوم بضرب الحدين للنسبة الثانية في (3) حتى يتساوى الحد الأول في كلا النسبتين، فتصبح المعادلة:
9:ص=9:24
و بالتالي ص تساوي 24.
2- إذا كانت 3:7 هي نسبة عمر سعاد إلى عمر خديجة، و كان عمر سعاد تسع سنوات، فما عمر خديجة؟
الحل:
3:7 تساوي عمر سعاد:عمر خديجة
3:7 = 9:عمر خديجة
نضرب الحدين (3:7) في العدد ثلاثة حتى يكون الحد الأول من النسبتين متساويان، فتصبح:
9:21 = 9:عمر خديجة
عمر خديجة=21 سنة.
التناسب : التناسب هو تساوي كميتين أو أكثر، و عندما تتغير أي كمية من الكميتين تتغير معها قيمة الكمية الأخرى بنسبة معينة، و هناك نوعين من التناسب و هما:
1- التناسب الطردي : يسمى التناسب طردي عندما تزداد قيمة أحد الكميتين في التناسب مع زيادة الكمية الأخرى، مثل أن نقول أن كمية إستهلاك الطعام تزداد بزيادة عدد سكان الأسرة، أي كلما زاد العدد كلما زادت الحاجة للطعام، و هنا نقول أن التناسب بينهما طردي.
مثال: اشترت سيدة 3 أمتار من القماش بسعر 10 جنيهات، فكم جنيها ثمن شراء 15 متر من القماش؟
عدد الأمتار : السعر
3 : 10
15 : ؟؟س
نقوم بضرب الوسطين في الطرفين أي
3*س=10*15
أي أن س=(10*15)/3=50 جنيها
2- التناسب العكسي : عندما تزداد أحد الكميتين و تكون النتيجة نقص في الكمية الأخرى يكون التناسب في هذه الحالة عكسي، مثال على ذلك العلاقة بين شدة التيار الكهربي و قيمة المقاومة، فكلما قلت المقاومة كانت النتيجة زيادة في شدة التيار الكهربي.
مثال : عندما يقوم 8 عمال ببناء عمارة في 24 يوم، فكم عدد العمال المطلوبين لبناء نفس العمارة في 12 يوم.
نفرض أن س هي عدد العمال المطلوبين للبناء في 12 يوم
عدد العمال * عدد الأيام = عدد ثابت
8 *24 = 120
س *12 =120
س= 10
أي أنه مطلوب عدد 10 عمال لبناء العمارة في 12 يوم و نجد أنه بنقص عدد الأيام زاد عدد العمال أي أن العلاقة عكسية.
عندما تكون المقارنة بين كميتين لهما نفس وحدة القياس مثل أن نقول نسبة طول كذا إلى طول كذا، أو وزن شئ إلى وزن شئ أخر، في هذه الحالة تكون بدون وحدة قياس، أما عند الإختلاف في وحدات القياس بين المقدم للنسبة و التالي للنسبة فيتم إستخدام وحدة قياس المقدم إلى وحدة قياس التالي، مثل السرعة هي عبارة عن نسبة المسافة إلى الزمن.
خواص النسبة
– عندما نقوم بضرب الحدين في نفس الرقم فيما عدا الصفر، فإن القيمة النهائية للنسبة تبقى كما هي و لا تتغير ، مثال 7:3 هي نسبة
– عندما نقوم بضرب الحدين للنسبة في 2 يكون الناتج 14:6 نجد أن القيمة النهائية للنسبة لم تتغير.
-عندما نقوم بقسمة حدي النسبة على نفس الرقم فيما عدا الصفر فإن القيمة النهائية للنسبة تظل كما هي و لا تتغير ، مثال:12:3 هي نسبة
– إذا قمنا بقسمة الحدين على الرقم 3 يكون الناتج هو 4:1 و نجد أن القيمة النهائية ظلت كما هي و لم تتغير.
-أما في حالة الجمع و الطرح فعند إضافة نفس الرقم لحدي نسبة أو طرحه فإن القيمة النهائية للنسبة سوف تتغي فمثلا 3:1 عند إضافة الرقم 2 إلى حديها يكون الناتج 5:3 و نجد أن النسبتين مختلفتين في القيمة، و كذلك نفس الأمر في حالة الطرح فعند ما نقوم بطرح الرقم 3 من الحدين 7:5 يكون الناتج 4:2 و نجد أن النسبتين غير متساويتين في القيمة.
أمثلة على النسبة
1- إذا كانت س:ص تساوي 3:8 ، و كانت س تساوي 9، فما هي قيمة ص؟
الحل:
9:ص=3:8
نقوم بضرب الحدين للنسبة الثانية في (3) حتى يتساوى الحد الأول في كلا النسبتين، فتصبح المعادلة:
9:ص=9:24
و بالتالي ص تساوي 24.
2- إذا كانت 3:7 هي نسبة عمر سعاد إلى عمر خديجة، و كان عمر سعاد تسع سنوات، فما عمر خديجة؟
الحل:
3:7 تساوي عمر سعاد:عمر خديجة
3:7 = 9:عمر خديجة
نضرب الحدين (3:7) في العدد ثلاثة حتى يكون الحد الأول من النسبتين متساويان، فتصبح:
9:21 = 9:عمر خديجة
عمر خديجة=21 سنة.
التناسب : التناسب هو تساوي كميتين أو أكثر، و عندما تتغير أي كمية من الكميتين تتغير معها قيمة الكمية الأخرى بنسبة معينة، و هناك نوعين من التناسب و هما:
1- التناسب الطردي : يسمى التناسب طردي عندما تزداد قيمة أحد الكميتين في التناسب مع زيادة الكمية الأخرى، مثل أن نقول أن كمية إستهلاك الطعام تزداد بزيادة عدد سكان الأسرة، أي كلما زاد العدد كلما زادت الحاجة للطعام، و هنا نقول أن التناسب بينهما طردي.
مثال: اشترت سيدة 3 أمتار من القماش بسعر 10 جنيهات، فكم جنيها ثمن شراء 15 متر من القماش؟
عدد الأمتار : السعر
3 : 10
15 : ؟؟س
نقوم بضرب الوسطين في الطرفين أي
3*س=10*15
أي أن س=(10*15)/3=50 جنيها
2- التناسب العكسي : عندما تزداد أحد الكميتين و تكون النتيجة نقص في الكمية الأخرى يكون التناسب في هذه الحالة عكسي، مثال على ذلك العلاقة بين شدة التيار الكهربي و قيمة المقاومة، فكلما قلت المقاومة كانت النتيجة زيادة في شدة التيار الكهربي.
مثال : عندما يقوم 8 عمال ببناء عمارة في 24 يوم، فكم عدد العمال المطلوبين لبناء نفس العمارة في 12 يوم.
نفرض أن س هي عدد العمال المطلوبين للبناء في 12 يوم
عدد العمال * عدد الأيام = عدد ثابت
8 *24 = 120
س *12 =120
س= 10
أي أنه مطلوب عدد 10 عمال لبناء العمارة في 12 يوم و نجد أنه بنقص عدد الأيام زاد عدد العمال أي أن العلاقة عكسية.
