يُعتبر علم الجبر هو أحد أهم فروع علم الرياضيات ، وهو العلم القائم على مجموعة من الأعداد والأرقام التي تخضع إلى مجموعة من العمليات الرياضية والقوانين من أجل الوصول إلى نتائج معينة مطلوبة ، وقد التصق مفهوم البرهان بهذا العلم في إشارة إلى طريقة إثبات حقيقة ما ؛ حيث يتم الاستعانة به من أجل تحديد صحة أو خطأ علاقة ما ، كما أن البرهان يعمل على الوصول إلى الحقائق والمسلمات مثل إثبات صحة نظرية فيثاغورث ، ليظهر في هذا العلم ما يُعرف باسم البرهان الجبري.
ما هو البرهان الجبري
هو أحد أنواع البراهين الرياضية وأشهرها ، ويتم استخدامه من أجل الوصول إلى حل المعادلات والمتباينات الرياضية ، وعلى سبيل المثال يتم استخدام الحل الجبري في إثبات نظرية أن كل الزوايا الموجود في المثلث مجموعها 180 درجة كأمر مسلم به ، ويُعتبر هذا البرهان نقيض للبرهان الهندسي الذي يقوم على قياس الزوايا وإثبات التوازي وغير ذلك مما يتعلق بالأمور الهندسية ، وهناك أيضًا ما يُعرف باسم البرهان الإحداثي وهو المختص بإثبات المستوى ووضع بيان على القوانين الخاصة بالهندسة التحليلية.
أمثلة على البرهان الجبري
هناك الكثير من الأمثلة التي تعبر عن البرهان الجبري ، ومنها ما يلي من الأسئلة التي تستخدمه لإثبات حقائق معينة من عدمها :
السؤال الأول : أثبت أنه إذا كان لدينا 5-(4+×)= 70 ، فإن x=-18
الإجابة : المعطيات أو المعادلة الأصلية هي 5-(4+×) = 70
وخاصية التوزيع 5- . x + (-5( . 4 = 70
وبالتبسيط يصبح 5-x – 20 = 70
وخاصية جمع المساواة (5-x – 20 + 20 = 70 + 20)
وبالتبسيط تكون النتيجة 5- = 90
وخاصية القسمة للمساواة 5- 5-
وبالتبسيط تصبح النتيجة هي (x= -18) ، وهو المطلوب إثباته.
السؤال الثاني : أثبت أن 2(2س+5)-2 = 28 ؛ إذا كانت س = 5
الإجابة : بما أن س = 5 ؛ فإن 2س = 2×5 = 10
إذن فإن (2س + 5) = (10 + 5) = 15
وبذلك فإن 2(2س + 5)-2 = 2(15)-2
وبالتالي فإن النتيجة تكون 30-2 = 28 ، وهو المطلوب إثباته.
السؤال الثالث : أثبت صحة أو خطأ نظرية هيرنان التي تقول بأنه إذا قمت بتعداد رقم ثم قمت بإضافة 1 ؛ فإنه سيصبح عددًا أولًيًا في النتيجة
الإجابة : البداية من الأرقام الأصغر كالتالي
1 ^ 2 + 1 = 1 + 1 = 2
2 + 1 = 1 + 1 = 2
2 ^ 2 + 1 = 4 + 1 = 5
2 + 1 = 4 + 1 = 5
وفي بيان نتائج الأرقام الصغيرة تبدو الأعداد أولية ، وهو ما قد يوضح أن بيان هذه النظرية صحيح ، ولكن بتجربة استخدام الرقم المربع كالتالي
3 ^ 2 + 1 = 9 + 1 = 10
2 + 1 = 9 + 1 = 10
يتضح من خلال هذه النتيجة أنها ليست أعداد أولية ، وبذلك فإن نظرية هيرنان أصبحت خاطئة ولا يمكن أن تشمل جميع الأرقام.
السؤال الرابع : أثبت أن n + 2) ^ 2- (n-2) ^ 2 (n + 2)2 – (ن 2) 2 يقبل القسمة على رقم 8 لأي عدد صحيح موجب nn
الإجابة : يجب توسيع الشريحة الأولى كالتالي
(ن + 2) ^ 2 = ن ^ 2 + 2N + 2N + 4 = ن ^ 2 + 4N + 4 (ن + 2) 2 = ن 2 + 2N + 2N + 4 = ن 2 + 4N + 4
ثم يتم توسيع القوس الثاني ليصبح
(ن 2) ^ 2 = ن ^ 2-2n-2N + 4 = ن ^ 2-4n + 4 (ن 2) 2 = ن 2 -2n-2N + 4 = ن 2 -4n + 4
وبالتوسع بين القوسين (ن + 2) ^ 2- (ن 2) ^ 2 = (ن ^ 2 + 4N + 4) – (ن ^ 2-4n + 4) (ن + 2) 2 – (ن 2) 2 = (ن 2 + 4N + 4) – (ن 2 -4n + 4) ، نلاحظ أن (ن ^ 2n2) سيتم إلغاء البنود ، و كذلك (4s )
ونتيجة لما سبق فإن ما تبقى هو كالتالي
(ن ^ 2 + 4N + 4) – (ن ^ 2-4n + 4) = 4N – (- 4N) = 8N (ن 2 + 4N + 4) – (ن 2 -4n + 4) = 4N – (- 4N) = 8N ، وبالتالي يتم تبسيط التعبير بأكمله ليصبح في صيغة(8n8n) ، ومن ثَم إذا كان nn عددًا صحيحًا ؛ فإن 8n8n يجب ان تكون قابلة للقسمة على رقم 8 ، ومن هنا تكون الإجابة إذا تمت القسمة على 8 هي nn
وبالتالي تصبح الحالة هي (n + 2) ^ 2- (n-2) ^ 2 (n + 2) ، ويؤكد ذلك أن المعادلة المطلوبة تقبل القسمة على رقم 8 لأي عدد صحيح موجب nn ، وهو المطلوب إثباته.
ما هو البرهان الجبري
هو أحد أنواع البراهين الرياضية وأشهرها ، ويتم استخدامه من أجل الوصول إلى حل المعادلات والمتباينات الرياضية ، وعلى سبيل المثال يتم استخدام الحل الجبري في إثبات نظرية أن كل الزوايا الموجود في المثلث مجموعها 180 درجة كأمر مسلم به ، ويُعتبر هذا البرهان نقيض للبرهان الهندسي الذي يقوم على قياس الزوايا وإثبات التوازي وغير ذلك مما يتعلق بالأمور الهندسية ، وهناك أيضًا ما يُعرف باسم البرهان الإحداثي وهو المختص بإثبات المستوى ووضع بيان على القوانين الخاصة بالهندسة التحليلية.
أمثلة على البرهان الجبري
هناك الكثير من الأمثلة التي تعبر عن البرهان الجبري ، ومنها ما يلي من الأسئلة التي تستخدمه لإثبات حقائق معينة من عدمها :
السؤال الأول : أثبت أنه إذا كان لدينا 5-(4+×)= 70 ، فإن x=-18
الإجابة : المعطيات أو المعادلة الأصلية هي 5-(4+×) = 70
وخاصية التوزيع 5- . x + (-5( . 4 = 70
وبالتبسيط يصبح 5-x – 20 = 70
وخاصية جمع المساواة (5-x – 20 + 20 = 70 + 20)
وبالتبسيط تكون النتيجة 5- = 90
وخاصية القسمة للمساواة 5- 5-
وبالتبسيط تصبح النتيجة هي (x= -18) ، وهو المطلوب إثباته.
السؤال الثاني : أثبت أن 2(2س+5)-2 = 28 ؛ إذا كانت س = 5
الإجابة : بما أن س = 5 ؛ فإن 2س = 2×5 = 10
إذن فإن (2س + 5) = (10 + 5) = 15
وبذلك فإن 2(2س + 5)-2 = 2(15)-2
وبالتالي فإن النتيجة تكون 30-2 = 28 ، وهو المطلوب إثباته.
السؤال الثالث : أثبت صحة أو خطأ نظرية هيرنان التي تقول بأنه إذا قمت بتعداد رقم ثم قمت بإضافة 1 ؛ فإنه سيصبح عددًا أولًيًا في النتيجة
الإجابة : البداية من الأرقام الأصغر كالتالي
1 ^ 2 + 1 = 1 + 1 = 2
2 + 1 = 1 + 1 = 2
2 ^ 2 + 1 = 4 + 1 = 5
2 + 1 = 4 + 1 = 5
وفي بيان نتائج الأرقام الصغيرة تبدو الأعداد أولية ، وهو ما قد يوضح أن بيان هذه النظرية صحيح ، ولكن بتجربة استخدام الرقم المربع كالتالي
3 ^ 2 + 1 = 9 + 1 = 10
2 + 1 = 9 + 1 = 10
يتضح من خلال هذه النتيجة أنها ليست أعداد أولية ، وبذلك فإن نظرية هيرنان أصبحت خاطئة ولا يمكن أن تشمل جميع الأرقام.
السؤال الرابع : أثبت أن n + 2) ^ 2- (n-2) ^ 2 (n + 2)2 – (ن 2) 2 يقبل القسمة على رقم 8 لأي عدد صحيح موجب nn
الإجابة : يجب توسيع الشريحة الأولى كالتالي
(ن + 2) ^ 2 = ن ^ 2 + 2N + 2N + 4 = ن ^ 2 + 4N + 4 (ن + 2) 2 = ن 2 + 2N + 2N + 4 = ن 2 + 4N + 4
ثم يتم توسيع القوس الثاني ليصبح
(ن 2) ^ 2 = ن ^ 2-2n-2N + 4 = ن ^ 2-4n + 4 (ن 2) 2 = ن 2 -2n-2N + 4 = ن 2 -4n + 4
وبالتوسع بين القوسين (ن + 2) ^ 2- (ن 2) ^ 2 = (ن ^ 2 + 4N + 4) – (ن ^ 2-4n + 4) (ن + 2) 2 – (ن 2) 2 = (ن 2 + 4N + 4) – (ن 2 -4n + 4) ، نلاحظ أن (ن ^ 2n2) سيتم إلغاء البنود ، و كذلك (4s )
ونتيجة لما سبق فإن ما تبقى هو كالتالي
(ن ^ 2 + 4N + 4) – (ن ^ 2-4n + 4) = 4N – (- 4N) = 8N (ن 2 + 4N + 4) – (ن 2 -4n + 4) = 4N – (- 4N) = 8N ، وبالتالي يتم تبسيط التعبير بأكمله ليصبح في صيغة(8n8n) ، ومن ثَم إذا كان nn عددًا صحيحًا ؛ فإن 8n8n يجب ان تكون قابلة للقسمة على رقم 8 ، ومن هنا تكون الإجابة إذا تمت القسمة على 8 هي nn
وبالتالي تصبح الحالة هي (n + 2) ^ 2- (n-2) ^ 2 (n + 2) ، ويؤكد ذلك أن المعادلة المطلوبة تقبل القسمة على رقم 8 لأي عدد صحيح موجب nn ، وهو المطلوب إثباته.
