بحث جاهز عن البرهان الجبري
البرهان هو جوهر كل الأشياء التي تراها في الرياضيات ، أي أن كل الأشياء التي تستخدمها و تأخذها كأمر مسلم به ، مثل نظرية فيثاغورس ، و يتم إثبات البرهان في مرحلة ما على مدى آلاف السنين .
نبذة عن الجبر وتاريخه
– الجبر هو فرع من فروع الرياضيات يتعامل مع الرموز و قواعد التلاعب بتلك الرموز ، في الجبر الأولي ، تمثل هذه الرموز (تُكتب اليوم باسم الحروف اللاتينية واليونانية) كميات بدون قيم ثابتة ، تُعرف باسم المتغيرات ، تماماً كما تصف الجمل العلاقات بين كلمات معينة ، في الجبر ، تصف المعادلات العلاقات بين المتغيرات .
– كان عمل فرانسوا فييت بشأن الجبر الجديد في نهاية القرن السادس عشر خطوة مهمة نحو الجبر الحديث ، و في عام 1637 ، نشر رينيه ديكارت كتاب La Géométrie ، واخترع الهندسة التحليلية وأدخل الرموز الجبرية الحديثة ، حدث رئيسي آخر في تطوير الجبر كان هو الحل الجبري العام للمعادلات المكعبة و الرباعية ، التي تم تطويرها في منتصف القرن السادس عشر .
– تم تطوير فكرة المحدد بواسطة عالم الرياضيات الياباني سيكي كوا في القرن السابع عشر ، ثم تبعها غوتفريد لايبنيز بشكل مستقل بعد عشر سنوات ، لغرض حل أنظمة المعادلات الخطية المتزامنة باستخدام المصفوفات ، و قام غابرييل كرامر أيضًا ببعض الأعمال في المصفوفات والمحددات فيالقرن الثامن عشر ، و قام جوزيف لويس لاغرانج بدراسة التباديل في كتابه Réflexions sur la résolution algébrique des équations الذي وضعه عام 1770 و المكرس لحلول المعادلات الجبرية ، و كان باولو روفيني أول شخص قام بتطوير نظرية مجموعات التقليب ، و مثل سابقيه ، أيضًا في سياق حل المعادلات الجبرية .
نبذة عن البرهان الجبري
– فكرة البرهان هي الإدلاء ببيان عام – على سبيل المثال ، لا تريد فقط أن تقول أن الزوايا في بعض المثلثات تزيد عن 180 ، و تريد أن تقول أن الزوايا في جميع المثلثات تزيد عن 180 ، و البرهان هو دليل على أنه يجب عليك معرفته بالفعل ، و البرهان هو الهيكل العام للإثبات هو البدء ببيان واحد ، و اتخاذ سلسلة من الخطوات المنطقية و الرياضية ، و ينتهي به المطاف في الاستنتاج المرغوب ، بالطبع ، ليس كل ما نريد يمكن إثباته صحيح .
أمثلة على البرهان الجبري
المثال الأول
– يزعم هيرنان أنه ” إذا قمت بتعداد رقم و قمت بإضافة 1 ، فستكون النتيجة عددًا أوليًا ” ، و لاثبات ذلك سنبدأ بالأرقام الأصغر :
1 ^ 2 + 1 = 1 + 1 = 2 ، الذي يكون أولي .
2 + 1 = 1 + 1 = 2 ، و هو أولي .
2 ^ 2 + 1 = 4 + 1 = 5 ، الذي يكون أولي .
2 + 1 = 4 + 1 = 5 ، وهو أولي .
– الآن ، في هذه المرحلة ، قد يبدو أن بيانها صحيح ، لكن إذا جربنا الرقم المربع التالي :
3 ^ 2 + 1 = 9 + 1 = 10 ، و هو ليس أولي .
2 + 1 = 9 + 1 = 10 ، و هي ليست أولية .
– هذا مثال مضاد لبيانها ، لذلك أثبتنا أنه خطأ .
المثال الثاني
– أثبت أن n + 2) ^ 2- (n-2) ^ 2 (n + 2)2 – (ن 2) 2 قابل للقسمة على 8 لأي عدد صحيح موجب nn .
– للقيام بذلك ، نحتاج إلى إظهار أن n + 2) ^ 2- (n-2) ^ 2 (n + 2)2 – (ن 2) 2 يمكن كتابتها بطريقة قابلة للقسمة بوضوح على 8 ، لإيجاد طريقة لكتابة تعبير كهذا بطريقة مختلفة ، يمكننا محاولة توسيعه ، لذلك ، تتوسع الشريحة الأولى إلى (ن + 2) ^ 2 = ن ^ 2 + 2N + 2N + 4 = ن ^ 2 + 4N + 4 (ن + 2) 2 = ن 2 + 2N + 2N + 4 = ن 2 + 4N + 4 ، ثم ، يتوسع القوس الثاني إلى (ن 2) ^ 2 = ن ^ 2-2n-2N + 4 = ن ^ 2-4n + 4 (ن 2) 2 = ن 2 -2n-2N + 4 = ن 2 -4n + 4 .
– يحتوي التعبير في السؤال على الشريحة الثانية التي يتم طرحها من الأولى ، لذلك ، سنفعل هذا الطرح مع التوسع بين قوسين : (ن + 2) ^ 2- (ن 2) ^ 2 = (ن ^ 2 + 4N + 4) – (ن ^ 2-4n + 4) (ن + 2) 2 – (ن 2) 2 = (ن 2 + 4N + 4) – (ن 2 -4n + 4) يمكننا أن نرى أن ن ^ 2n2 سيتم إلغاء البنود ، و كذلك 4s .
– لذلك كل ما تبقى لدينا هو (ن ^ 2 + 4N + 4) – (ن ^ 2-4n + 4) = 4N – (- 4N) = 8N (ن 2 + 4N + 4) – (ن 2 -4n + 4) = 4N – (- 4N) = 8N ، لذا ، فإن التعبير بأكمله يبسط إلى 8n8n. الآن ، إذا كان nn عددًا صحيحًا ، فيجب أن تكون 8n8n قابلة للقسمة على 8 (إذا قسمناها على 8 ، نحصل على الإجابة nn). بما أن 8n8n مكافئ للتعبير الذي بدأناه ، يجب أن تكون الحالة (n + 2) ^ 2- (n-2) ^ 2 (n + 2)
2 – (ن 2) 2 ، قابل للقسمة على 8 لأي عدد صحيح موجب nn – و بالتالي فإن العبارة أصبحت عالمية ، و بالتالي ، لقد أكملنا الدليل .
أنواع البراهين الرياضية
البرهان الجبري
و هو الذي يختص بحل المعادلات و المتباينات .
البرهان الهندسي
يختص بالمستقيمات و القطع المستقيمة و التوازي و الزوايا .
البرهان الإحداثي
يختص بالمستوى و قوانين الهندسة التحليلية .
البرهان هو جوهر كل الأشياء التي تراها في الرياضيات ، أي أن كل الأشياء التي تستخدمها و تأخذها كأمر مسلم به ، مثل نظرية فيثاغورس ، و يتم إثبات البرهان في مرحلة ما على مدى آلاف السنين .
نبذة عن الجبر وتاريخه
– الجبر هو فرع من فروع الرياضيات يتعامل مع الرموز و قواعد التلاعب بتلك الرموز ، في الجبر الأولي ، تمثل هذه الرموز (تُكتب اليوم باسم الحروف اللاتينية واليونانية) كميات بدون قيم ثابتة ، تُعرف باسم المتغيرات ، تماماً كما تصف الجمل العلاقات بين كلمات معينة ، في الجبر ، تصف المعادلات العلاقات بين المتغيرات .
– كان عمل فرانسوا فييت بشأن الجبر الجديد في نهاية القرن السادس عشر خطوة مهمة نحو الجبر الحديث ، و في عام 1637 ، نشر رينيه ديكارت كتاب La Géométrie ، واخترع الهندسة التحليلية وأدخل الرموز الجبرية الحديثة ، حدث رئيسي آخر في تطوير الجبر كان هو الحل الجبري العام للمعادلات المكعبة و الرباعية ، التي تم تطويرها في منتصف القرن السادس عشر .
– تم تطوير فكرة المحدد بواسطة عالم الرياضيات الياباني سيكي كوا في القرن السابع عشر ، ثم تبعها غوتفريد لايبنيز بشكل مستقل بعد عشر سنوات ، لغرض حل أنظمة المعادلات الخطية المتزامنة باستخدام المصفوفات ، و قام غابرييل كرامر أيضًا ببعض الأعمال في المصفوفات والمحددات فيالقرن الثامن عشر ، و قام جوزيف لويس لاغرانج بدراسة التباديل في كتابه Réflexions sur la résolution algébrique des équations الذي وضعه عام 1770 و المكرس لحلول المعادلات الجبرية ، و كان باولو روفيني أول شخص قام بتطوير نظرية مجموعات التقليب ، و مثل سابقيه ، أيضًا في سياق حل المعادلات الجبرية .
نبذة عن البرهان الجبري
– فكرة البرهان هي الإدلاء ببيان عام – على سبيل المثال ، لا تريد فقط أن تقول أن الزوايا في بعض المثلثات تزيد عن 180 ، و تريد أن تقول أن الزوايا في جميع المثلثات تزيد عن 180 ، و البرهان هو دليل على أنه يجب عليك معرفته بالفعل ، و البرهان هو الهيكل العام للإثبات هو البدء ببيان واحد ، و اتخاذ سلسلة من الخطوات المنطقية و الرياضية ، و ينتهي به المطاف في الاستنتاج المرغوب ، بالطبع ، ليس كل ما نريد يمكن إثباته صحيح .
أمثلة على البرهان الجبري
المثال الأول
– يزعم هيرنان أنه ” إذا قمت بتعداد رقم و قمت بإضافة 1 ، فستكون النتيجة عددًا أوليًا ” ، و لاثبات ذلك سنبدأ بالأرقام الأصغر :
1 ^ 2 + 1 = 1 + 1 = 2 ، الذي يكون أولي .
2 + 1 = 1 + 1 = 2 ، و هو أولي .
2 ^ 2 + 1 = 4 + 1 = 5 ، الذي يكون أولي .
2 + 1 = 4 + 1 = 5 ، وهو أولي .
– الآن ، في هذه المرحلة ، قد يبدو أن بيانها صحيح ، لكن إذا جربنا الرقم المربع التالي :
3 ^ 2 + 1 = 9 + 1 = 10 ، و هو ليس أولي .
2 + 1 = 9 + 1 = 10 ، و هي ليست أولية .
– هذا مثال مضاد لبيانها ، لذلك أثبتنا أنه خطأ .
المثال الثاني
– أثبت أن n + 2) ^ 2- (n-2) ^ 2 (n + 2)2 – (ن 2) 2 قابل للقسمة على 8 لأي عدد صحيح موجب nn .
– للقيام بذلك ، نحتاج إلى إظهار أن n + 2) ^ 2- (n-2) ^ 2 (n + 2)2 – (ن 2) 2 يمكن كتابتها بطريقة قابلة للقسمة بوضوح على 8 ، لإيجاد طريقة لكتابة تعبير كهذا بطريقة مختلفة ، يمكننا محاولة توسيعه ، لذلك ، تتوسع الشريحة الأولى إلى (ن + 2) ^ 2 = ن ^ 2 + 2N + 2N + 4 = ن ^ 2 + 4N + 4 (ن + 2) 2 = ن 2 + 2N + 2N + 4 = ن 2 + 4N + 4 ، ثم ، يتوسع القوس الثاني إلى (ن 2) ^ 2 = ن ^ 2-2n-2N + 4 = ن ^ 2-4n + 4 (ن 2) 2 = ن 2 -2n-2N + 4 = ن 2 -4n + 4 .
– يحتوي التعبير في السؤال على الشريحة الثانية التي يتم طرحها من الأولى ، لذلك ، سنفعل هذا الطرح مع التوسع بين قوسين : (ن + 2) ^ 2- (ن 2) ^ 2 = (ن ^ 2 + 4N + 4) – (ن ^ 2-4n + 4) (ن + 2) 2 – (ن 2) 2 = (ن 2 + 4N + 4) – (ن 2 -4n + 4) يمكننا أن نرى أن ن ^ 2n2 سيتم إلغاء البنود ، و كذلك 4s .
– لذلك كل ما تبقى لدينا هو (ن ^ 2 + 4N + 4) – (ن ^ 2-4n + 4) = 4N – (- 4N) = 8N (ن 2 + 4N + 4) – (ن 2 -4n + 4) = 4N – (- 4N) = 8N ، لذا ، فإن التعبير بأكمله يبسط إلى 8n8n. الآن ، إذا كان nn عددًا صحيحًا ، فيجب أن تكون 8n8n قابلة للقسمة على 8 (إذا قسمناها على 8 ، نحصل على الإجابة nn). بما أن 8n8n مكافئ للتعبير الذي بدأناه ، يجب أن تكون الحالة (n + 2) ^ 2- (n-2) ^ 2 (n + 2)
2 – (ن 2) 2 ، قابل للقسمة على 8 لأي عدد صحيح موجب nn – و بالتالي فإن العبارة أصبحت عالمية ، و بالتالي ، لقد أكملنا الدليل .
أنواع البراهين الرياضية
البرهان الجبري
و هو الذي يختص بحل المعادلات و المتباينات .
البرهان الهندسي
يختص بالمستقيمات و القطع المستقيمة و التوازي و الزوايا .
البرهان الإحداثي
يختص بالمستوى و قوانين الهندسة التحليلية .
