نظرية الاحتمال هي الدراسة الرياضية للظواهر التي تتميز بالعشوائية أو عدم اليقين، بتعبير أدق يتم استخدام الاحتمالات لنمذجة الحالات عندما تنتج نتيجة تجربة، تتحقق في ظل الظروف نفسها، نتائج مختلفة مثل رمي النرد، ويفكر الرياضيون والخبراء الاكتواريون في الاحتمالات كأرقام في الفاصل الزمني المغلق من 0 إلى 1 المخصص إلى الأحداث التي يكون حدوثها أو فشلها عشوائيًا، ويهتم الإحصائي أساسا باستنتاج الاستنتاجات (أو الاستدلال) من التجارب التي تنطوي على حالات عدم اليقين، ولكي تكون هذه الاستنتاجات والاستدلالات دقيقة إلى حد معقول، فإن فهم نظرية الاحتمالات أمر ضروري.
مفهوم الاحتمال
هو إمكانية وقوع أمر ما لسنا على ثقة تامة بحدوثه، ويلعب الاحتمال دوراً أساسياً في الحياة اليومية بالتنبؤ بإمكانية وقوع حدث ما وهو النظرية التي يستخدمها الإحصائي لتساعده في معرفة مدى تمثيل العينة العشوائية محل الدراسة للمجتمع المأخوذ منه العينة، وتنحصر قيمة الاحتمال بين الصفر والواحد الصحيح والصفر للاحتمال المستحيل في حين الواحد الصحيح للاحتمال المؤكد والاحتمال يبحث في ثلاثة مسائل هامة معتمدة على القواعد الخاصة بالاحتمال والمسائل الثلاثة هي:
1 – حساب الاحتمال المتمثل بالتكرار النسبي.
2- حساب الاحتمال بدلالة احتمالات أخرى معلومة من خلال عمليات مثل الاتحاد والتقاطع والفرق.
3- طرق إجراء التقدير كالتوزيعات الاحتمالية.
بعض تطبيقات نظرية الاحتمالية
تطبق نظرية الاحتمالات على الحالات التي يوجد فيها عدم اليقين، وتشمل هذه الحالات
1 ـ توصيف حركة المرور عند تقاطع شارع المدينة المنورة مع شارع عسير، أي عدد السيارات التي تعبر التقاطع كدالة للوقت.
2ـ التنبؤ بالطقس في حائل.
3ـ عدد الطلاب الذين يجتازون حقل التدريب بين الساعة 8:50 والساعة 9:00 من يوم الاثنين
4ـ الحركة المستحثة حراريا (البراونية) للجزيئات في، الأسلاك النحاسية، مكبر للصوت JFET
5- ونلاحظ أن الحالتين الأخيرتين ستلجأن إلى ظاهرة تعرف بالضوضاء التي تكون قوتها دالة على درجة حرارة الجزيئات.
6- في جميع هذه الحالات ، يمكننا تطوير تقدير تقريبي أو ممتاز لكل من هذه التجارب، ومع ذلك فإننا لن نكون قادرين أبدًا على وصفهم باليقين المطلق ومع ذلك يمكننا وصفها بطريقة احتمالية عن طريق عناصر نظرية الاحتمالات، وهو ما يفعله خبراء التنبؤ بالطقس عندما يقولون
7- فرصة هطول المطر غدًا 40٪ في مثل هذه الحالات يقولون إن احتمال هطول المطر هو 0.4. وتشمل الخصائص الاحتمالية الأخرى
8- واحد من متوسط 200 سيارة في الدقيقة الواحدة عبر شارع المدينة المنورة وشارع عسير في أيام السبت، فرص السيارات العديدة التي تعبر هذا التقاطع في الساعة 8:00 صباحًا يوم الجمعة صغيرة جدًا.
متوسط قوة الضوضاء الناتجة عن هذا المضخم هو 1μW
يطبق العلماء والمهندسون نظريات الاحتمالية والعمليات العشوائية على حالات التكرار في الطبيعة حيث، يمكننا التنبؤ بما قد يحدث، أما عندما لا يمكننا تحديد ما قد يحدث بالضبط، نقول إن مثل هذه الأحداث عشوائية، تحدث التكرارات العشوائية للأسباب التالية
1ـ جميع القوى السببية في العمل غير معروفة.
2ـ عدم وجود بيانات غير كافية لظروف المشكلة.
3ـ إن الآليات المادية التي تدفع المشكلة معقدة للغاية بحيث لا يكون الحساب المباشر للمشكلة مجدياً.
4ـ يوجد بعض عدم التعيين الأساسي في العالم المادي.
مفاهيم الاحتمالية وأنواع الاحتمال
يمكن للمرء أن يقترب من الاحتمالية من خلال مفهوم رياضي مجرد يدعى نظرية القياس، والذي ينتج عنه نظرية البديهية للاحتمالية، أو من خلال نهج إرشادي يسمى التردد النسبي، وهو تعريف أقل اكتمالا (ومعيب قليلا) للإحتمالية ومع ذلك، فإنه يناسب حاجتنا لهذه الدورة.
أنواع الاحتمال
1 – الاحتمال المنتظم، وهو تساوي احتمالات عناصر الظاهرة فاحتمال الحصول على أي عدد عند إلقاء حجر النرد هو 1 : 6 ويخضع للقانون: Number of events classifiable as A M P(A) = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ——
N M عدد حالات وقوع الحدث A بالفعل
P(A) = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ——
2- كل الحالات التي يمكن وقوعها N
3- الاحتمال الضمني أو الشخصي، هو الاحتمال الذي يعتقده شخص أما على حساب خبرته في الظاهرة محل الدراسة وهو يختلف من شخص لآخر كاحتمال ربح حصان في سباق الخيل.
4- الاحتمالات التكرارية النسبية، ويتم تحديدها كما يلي: أ) نسبة وقوع الحدث على مدى طويل مع ثبات الظروف المحيطة بالحدث. ب) حساب مرات وقوعه في عدد كبير من المحاولات أي: عدد مرات ظهوره P(A) = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
عدد مرات إجراء التجربة
التعاريف الأساسية للاحتمالالتجربة العشوائية
هي كل إجراء نقوم به نعلم مكوناته دون معرفة أي منها سيقع، وتعرف في علم الإحصاء بالتجربة الإحصائية وهي كل عملية تعطي قياساً لظاهرة ما.
التجربة العشوائية لإلقاء قطعة النقود التي عناصرها المجموعة {صورة ، كتابة} وقد يقع أي منهم وتعرف الصورة والكتابة بعناصر العينة.
التجربة العشوائية بإلقاء حجر النرد الذي عناصره المجموعة {1، 2، 3، 4، 5، 6} وقد يقع أي منهم، وهكذا.
فضاء النواتج
تعرف المجموعة {1، 2، 3، 4، 5، 6} في مثالنا السابق للتجربة العشوائية بفضاء النواتج أو فضاء الإمكانيات أو فضاء العينة لتجربة إلقاء قطعة نقود مرة واحدة { T ، H} أو تمثل بشكل فن مستطيل أو دائرة بالداخل العناصر الخاصة بالتجربة العشوائية.
مفهوم الاحتمال
هو إمكانية وقوع أمر ما لسنا على ثقة تامة بحدوثه، ويلعب الاحتمال دوراً أساسياً في الحياة اليومية بالتنبؤ بإمكانية وقوع حدث ما وهو النظرية التي يستخدمها الإحصائي لتساعده في معرفة مدى تمثيل العينة العشوائية محل الدراسة للمجتمع المأخوذ منه العينة، وتنحصر قيمة الاحتمال بين الصفر والواحد الصحيح والصفر للاحتمال المستحيل في حين الواحد الصحيح للاحتمال المؤكد والاحتمال يبحث في ثلاثة مسائل هامة معتمدة على القواعد الخاصة بالاحتمال والمسائل الثلاثة هي:
1 – حساب الاحتمال المتمثل بالتكرار النسبي.
2- حساب الاحتمال بدلالة احتمالات أخرى معلومة من خلال عمليات مثل الاتحاد والتقاطع والفرق.
3- طرق إجراء التقدير كالتوزيعات الاحتمالية.
بعض تطبيقات نظرية الاحتمالية
تطبق نظرية الاحتمالات على الحالات التي يوجد فيها عدم اليقين، وتشمل هذه الحالات
1 ـ توصيف حركة المرور عند تقاطع شارع المدينة المنورة مع شارع عسير، أي عدد السيارات التي تعبر التقاطع كدالة للوقت.
2ـ التنبؤ بالطقس في حائل.
3ـ عدد الطلاب الذين يجتازون حقل التدريب بين الساعة 8:50 والساعة 9:00 من يوم الاثنين
4ـ الحركة المستحثة حراريا (البراونية) للجزيئات في، الأسلاك النحاسية، مكبر للصوت JFET
5- ونلاحظ أن الحالتين الأخيرتين ستلجأن إلى ظاهرة تعرف بالضوضاء التي تكون قوتها دالة على درجة حرارة الجزيئات.
6- في جميع هذه الحالات ، يمكننا تطوير تقدير تقريبي أو ممتاز لكل من هذه التجارب، ومع ذلك فإننا لن نكون قادرين أبدًا على وصفهم باليقين المطلق ومع ذلك يمكننا وصفها بطريقة احتمالية عن طريق عناصر نظرية الاحتمالات، وهو ما يفعله خبراء التنبؤ بالطقس عندما يقولون
7- فرصة هطول المطر غدًا 40٪ في مثل هذه الحالات يقولون إن احتمال هطول المطر هو 0.4. وتشمل الخصائص الاحتمالية الأخرى
8- واحد من متوسط 200 سيارة في الدقيقة الواحدة عبر شارع المدينة المنورة وشارع عسير في أيام السبت، فرص السيارات العديدة التي تعبر هذا التقاطع في الساعة 8:00 صباحًا يوم الجمعة صغيرة جدًا.
متوسط قوة الضوضاء الناتجة عن هذا المضخم هو 1μW
يطبق العلماء والمهندسون نظريات الاحتمالية والعمليات العشوائية على حالات التكرار في الطبيعة حيث، يمكننا التنبؤ بما قد يحدث، أما عندما لا يمكننا تحديد ما قد يحدث بالضبط، نقول إن مثل هذه الأحداث عشوائية، تحدث التكرارات العشوائية للأسباب التالية
1ـ جميع القوى السببية في العمل غير معروفة.
2ـ عدم وجود بيانات غير كافية لظروف المشكلة.
3ـ إن الآليات المادية التي تدفع المشكلة معقدة للغاية بحيث لا يكون الحساب المباشر للمشكلة مجدياً.
4ـ يوجد بعض عدم التعيين الأساسي في العالم المادي.
مفاهيم الاحتمالية وأنواع الاحتمال
يمكن للمرء أن يقترب من الاحتمالية من خلال مفهوم رياضي مجرد يدعى نظرية القياس، والذي ينتج عنه نظرية البديهية للاحتمالية، أو من خلال نهج إرشادي يسمى التردد النسبي، وهو تعريف أقل اكتمالا (ومعيب قليلا) للإحتمالية ومع ذلك، فإنه يناسب حاجتنا لهذه الدورة.
أنواع الاحتمال
1 – الاحتمال المنتظم، وهو تساوي احتمالات عناصر الظاهرة فاحتمال الحصول على أي عدد عند إلقاء حجر النرد هو 1 : 6 ويخضع للقانون: Number of events classifiable as A M P(A) = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ——
N M عدد حالات وقوع الحدث A بالفعل
P(A) = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ——
2- كل الحالات التي يمكن وقوعها N
3- الاحتمال الضمني أو الشخصي، هو الاحتمال الذي يعتقده شخص أما على حساب خبرته في الظاهرة محل الدراسة وهو يختلف من شخص لآخر كاحتمال ربح حصان في سباق الخيل.
4- الاحتمالات التكرارية النسبية، ويتم تحديدها كما يلي: أ) نسبة وقوع الحدث على مدى طويل مع ثبات الظروف المحيطة بالحدث. ب) حساب مرات وقوعه في عدد كبير من المحاولات أي: عدد مرات ظهوره P(A) = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
عدد مرات إجراء التجربة
التعاريف الأساسية للاحتمالالتجربة العشوائية
هي كل إجراء نقوم به نعلم مكوناته دون معرفة أي منها سيقع، وتعرف في علم الإحصاء بالتجربة الإحصائية وهي كل عملية تعطي قياساً لظاهرة ما.
التجربة العشوائية لإلقاء قطعة النقود التي عناصرها المجموعة {صورة ، كتابة} وقد يقع أي منهم وتعرف الصورة والكتابة بعناصر العينة.
التجربة العشوائية بإلقاء حجر النرد الذي عناصره المجموعة {1، 2، 3، 4، 5، 6} وقد يقع أي منهم، وهكذا.
فضاء النواتج
تعرف المجموعة {1، 2، 3، 4، 5، 6} في مثالنا السابق للتجربة العشوائية بفضاء النواتج أو فضاء الإمكانيات أو فضاء العينة لتجربة إلقاء قطعة نقود مرة واحدة { T ، H} أو تمثل بشكل فن مستطيل أو دائرة بالداخل العناصر الخاصة بالتجربة العشوائية.
