يقول أحد علماء الرياضيات أن الطبيعة من حولنا هي عبارة عن عدد هائل من المعادلات والحسابات الهندسية ، حيث اننا إذا تاملنا أي شيء من حولنا سنجده يخضع لحسابات علوم الهندسة ، وبالتأكيد يرجع ذلك إلى أن كل العلوم عرفها البشر من الطبيعة ،فكل الأشكال الهندسية مثل (المثلث ، والمربع ، والدائرة ،.. ألخ ) موجودين في النباتات ، ولذلك تعد معرفة علوم الهندسة وحساب المثلثات واحدة من أهم العلوم التي يجب على كل شخص معرفة قوانينها ومعادلتها ، وفي هذا الموضوع سوف نتحدث عن الزوايا وأنواعها وقياستها .
أنواع المثلثات
على الرغم من أن هناك عدد من النظريات التي تتناول كيفية قياس الزوايا المختلفة للأشكال الهندسية المختلفة ، إلا أننا هنا سوف نأخذ شكل المثلث فقط ونتحدث عنه وعن كيفية قياس الزوايا الخاصة به ، ولذلك علينا أن نتعرف على أنواع المثلثات :
من الممكن تصنيف المثلثات تبعا لأطوال أضلاعها كما يلي:
1- مثلث متساوي الأضلاع: هو مثلث جميع أضلاعه متساوية ، وتكون (جميع زوايا المثلث متساوي الأضلاع متساوية ) ، وقيمة كل منها 60 درجة.
2- مثلث متساوي الضلعين: ويسمى أيضا متساوي الساقين ، هو مثلث فيه ضلعان متساويان ( الزاويتان المقابلتان لهذين الضلعين تكونان متساويتان أيضا )
3- مثلث مختلف الأضلاع: هو مثلث أطوال أضلاعه مختلفة ( زوايا هذا المثلث تكون مختلفة القيم أيضا ) .
نظرية فيثاغورث لحساب المثلثات
تعتبر نظرية فيثاغورث هي النظرية الأهم في علوم الرياضيات وحساب المثلثات ، وتنص النظرية على الاتي :
نظرية فيثاغورس
واحدة من النظريات الأساسية في المثلثات هي نظرية فيثاغورس والتي تنص على أنه في المثلث القائم ، مربع طول الوتر (ا َ) يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين القائمين (ب َ، ج َ) ، أي:
أ َ2 = ب َ2 + ج َ2
A2 = B2 + C2
مما يعني أن معرفة طولي ضلعين من المثلث القائم، كافٍ لمعرفة طول الضلع الثالث :
من الممكن تعميم نظرية فيثاغورث لتشمل أي مثلث عبر قانون جيب التمام: حيث :
مربع طول الضلع = مجموع مربعي الضلعين الآخرين مطروح منه ضعف حاصل ضروب طولي الضلعين الآخرين في جيب تمام ( الزاية المحصورة بينهما ) .
|أ|^2 = |ب|^2 + |ج|^2 – 2 × |ب|× |ج| × جتا (دْ)
A2 = B2 + C2 − 2 * B * C * cosα
و هو صحيح لكل المثلثات حتى ولو لم تكن الزاوية (د) قائمة .
مساحة المثلث
تعطى مساحة المثلث بالقانون التالي :
المساحة = 0.5× ق × ع
Area = 0.5 * B * H
حيث (ق أو B) هي طول أحد أضلاع المثلث ( ويسمى القاعدة) ، و(ع أو H) هو طول العمود النازل على هذه القاعدة من الرأس المقابل له (ويسمى الارتفاع) .
أنواع الزوايا
1- الزاوية المنعدمة : وهي الزاوية التي ينطبق أحد ضلعيها على الآخر ، ويكون قياسها صفر .
2- الزاوية الحادة : هي الزاوية التي يكون قياسها أكبر من صفر وأقل من 90 درجة .
3- الزاوية القائمة : هي التي يتعامد أحد ضلعيها على الآخر ، ويكون قياسها 90 درجة .
4- الزاوية المنفرجة : هي الزاوية التي تزيد درجة قياسها عن 90 وتقل عن 180 درجة .
5- الزاوية المستقيمة : هي التي يقع ضلعاها على استقامة واحدة ، فيكون قياسها 180 درجة .
الزاوية المنعكسة : هي الزاوية التي تزيد درجة قياسها عن 180 وتقل عن 360 درجة .
كما أن هناك أنواع أخرى للزوايا وتعرف بحسب علاقات الزوايا الموجودة في الشكل الهندسي الواحد وعلاقتهم ببعضهما البعض مثل :
1- زاويتان متتامتان : هما زاويتان مجموع قياسهما يساوي 90 درجة .
2- زاويتان متكاملتان : هما زاويتان مجموع قياسهما يساوي 180 درجة .
3- زاويتان متجاورتان : هما زاويتان تشتركان في الرأس وأحد ضلعيهما .
4- زاويتان متساويتان : هما زاويتان لهما نفس القياس .
5- زاويتان متقابلتان : هما زاويتان تشتركان في نفس الرأس ، وأضلاعهما تكون على نفس الامتداد .
طريقة قياس الزوايا المختلفة ووحدة قياسها
عليك اولاً احضار الأدوات الهندسية التي سوف تساعدك في قياس أو رسم أي شكل هندسي ، وفي حالة قياس الزاوية سيكون عليك استخدام (المنقلة ) والقيام بالخطوات التالية :
1- ضع مركز المنقلة بحيث يكون متطابقًا تمامًا مع مركز الزاوية .
2- تأكد من أن الضلع صفر في المنقلة منطبق تمامًا على أحد ضلعي الزاوية .
3- درجة قياس الزاوية هي الدرجة التي يمر بها ضلع الزاوية الآخر .
أما عن وحدات قياس الزاوية فيتم حسابها بأربعة وحدات قياس وهم ( الدرجة ، الدقيقة ، الثانية ، الراديان ) .
أنواع المثلثات
على الرغم من أن هناك عدد من النظريات التي تتناول كيفية قياس الزوايا المختلفة للأشكال الهندسية المختلفة ، إلا أننا هنا سوف نأخذ شكل المثلث فقط ونتحدث عنه وعن كيفية قياس الزوايا الخاصة به ، ولذلك علينا أن نتعرف على أنواع المثلثات :
من الممكن تصنيف المثلثات تبعا لأطوال أضلاعها كما يلي:
1- مثلث متساوي الأضلاع: هو مثلث جميع أضلاعه متساوية ، وتكون (جميع زوايا المثلث متساوي الأضلاع متساوية ) ، وقيمة كل منها 60 درجة.
2- مثلث متساوي الضلعين: ويسمى أيضا متساوي الساقين ، هو مثلث فيه ضلعان متساويان ( الزاويتان المقابلتان لهذين الضلعين تكونان متساويتان أيضا )
3- مثلث مختلف الأضلاع: هو مثلث أطوال أضلاعه مختلفة ( زوايا هذا المثلث تكون مختلفة القيم أيضا ) .
نظرية فيثاغورث لحساب المثلثات
تعتبر نظرية فيثاغورث هي النظرية الأهم في علوم الرياضيات وحساب المثلثات ، وتنص النظرية على الاتي :
نظرية فيثاغورس
واحدة من النظريات الأساسية في المثلثات هي نظرية فيثاغورس والتي تنص على أنه في المثلث القائم ، مربع طول الوتر (ا َ) يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين القائمين (ب َ، ج َ) ، أي:
أ َ2 = ب َ2 + ج َ2
A2 = B2 + C2
مما يعني أن معرفة طولي ضلعين من المثلث القائم، كافٍ لمعرفة طول الضلع الثالث :
من الممكن تعميم نظرية فيثاغورث لتشمل أي مثلث عبر قانون جيب التمام: حيث :
مربع طول الضلع = مجموع مربعي الضلعين الآخرين مطروح منه ضعف حاصل ضروب طولي الضلعين الآخرين في جيب تمام ( الزاية المحصورة بينهما ) .
|أ|^2 = |ب|^2 + |ج|^2 – 2 × |ب|× |ج| × جتا (دْ)
A2 = B2 + C2 − 2 * B * C * cosα
و هو صحيح لكل المثلثات حتى ولو لم تكن الزاوية (د) قائمة .
مساحة المثلث
تعطى مساحة المثلث بالقانون التالي :
المساحة = 0.5× ق × ع
Area = 0.5 * B * H
حيث (ق أو B) هي طول أحد أضلاع المثلث ( ويسمى القاعدة) ، و(ع أو H) هو طول العمود النازل على هذه القاعدة من الرأس المقابل له (ويسمى الارتفاع) .
أنواع الزوايا
1- الزاوية المنعدمة : وهي الزاوية التي ينطبق أحد ضلعيها على الآخر ، ويكون قياسها صفر .
2- الزاوية الحادة : هي الزاوية التي يكون قياسها أكبر من صفر وأقل من 90 درجة .
3- الزاوية القائمة : هي التي يتعامد أحد ضلعيها على الآخر ، ويكون قياسها 90 درجة .
4- الزاوية المنفرجة : هي الزاوية التي تزيد درجة قياسها عن 90 وتقل عن 180 درجة .
5- الزاوية المستقيمة : هي التي يقع ضلعاها على استقامة واحدة ، فيكون قياسها 180 درجة .
الزاوية المنعكسة : هي الزاوية التي تزيد درجة قياسها عن 180 وتقل عن 360 درجة .
كما أن هناك أنواع أخرى للزوايا وتعرف بحسب علاقات الزوايا الموجودة في الشكل الهندسي الواحد وعلاقتهم ببعضهما البعض مثل :
1- زاويتان متتامتان : هما زاويتان مجموع قياسهما يساوي 90 درجة .
2- زاويتان متكاملتان : هما زاويتان مجموع قياسهما يساوي 180 درجة .
3- زاويتان متجاورتان : هما زاويتان تشتركان في الرأس وأحد ضلعيهما .
4- زاويتان متساويتان : هما زاويتان لهما نفس القياس .
5- زاويتان متقابلتان : هما زاويتان تشتركان في نفس الرأس ، وأضلاعهما تكون على نفس الامتداد .
طريقة قياس الزوايا المختلفة ووحدة قياسها
عليك اولاً احضار الأدوات الهندسية التي سوف تساعدك في قياس أو رسم أي شكل هندسي ، وفي حالة قياس الزاوية سيكون عليك استخدام (المنقلة ) والقيام بالخطوات التالية :
1- ضع مركز المنقلة بحيث يكون متطابقًا تمامًا مع مركز الزاوية .
2- تأكد من أن الضلع صفر في المنقلة منطبق تمامًا على أحد ضلعي الزاوية .
3- درجة قياس الزاوية هي الدرجة التي يمر بها ضلع الزاوية الآخر .
أما عن وحدات قياس الزاوية فيتم حسابها بأربعة وحدات قياس وهم ( الدرجة ، الدقيقة ، الثانية ، الراديان ) .
