هناك عدد من النظريات الرياضية الهندسية التي تعتبر اساس لأغلب العمليات الهندسية ، و التي لابد من فهم قوانينها لتسهيل دراسة الهندسة.
المتسلسلات الهندسية
في الرياضيات، تعتبر السلسلة عبارة عن وصف لعملية إضافة كميات لا حصر لها من الكميات، واحدة تلو الأخرى، إلى كمية بداية معينة، دراسة السلسلة جزء رئيسي من حساب التفاضل والتكامل وتعميمه، تُستخدم السلسلة في معظم مجالات الرياضيات، حتى لدراسة الهياكل المحدودة (كما هو الحال في المجموعات التوافقية)، من خلال وظائف التوليد، وبالإضافة إلى كل مكان في الرياضيات، كما تستخدم على نطاق واسع سلسلة لا نهائية في التخصصات الكمية الأخرى مثل الفيزياء، علوم الحاسب الآلي، الإحصائيات والمالية.
متابعة المتسلسلات الهندسية اللانهائية
– لا يمكن متابعة التسلسل اللانهائي للإضافات التي تتضمنها السلسلة بفعالية (على الأقل في فترة زمنية محدودة)، ومع ذلك، إذا كان للمجموعة التي تنتمي إليها الشروط ومبالغها المحدودة مفهوم الحد، فمن الممكن في بعض الأحيان تعيين قيمة لسلسلة، تسمى مجموع السلسلة، هذه القيمة هي الحد كما يميل ن إلى ما لا نهاية (في حالة وجود الحد) من مبالغ محدودة من ن حيث الأولى من هذه السلسلة، التي تسمى من عشر مبالغ جزئية من هذه السلسلة.
– عندما يكون هذا الحد موجودًا، يقول المرء أن السلسلة متقاربة أو قابلة للتلخيص أو متسلسلة، في هذه الحالة، يسمى الحد مجموع السلسلة، خلاف ذلك، يقال أنه سلسلة متباينة .
– بشكل عام ، تأتي شروط المسلسل من حلقة، غالبًا ما تكون الحقلة من الأعداد الحقيقية أو الحقل من الأرقام المعقدة، في هذه الحالة، تكون مجموعة السلسلة كلها بحد ذاتها حلقة، حيث تتكون الإضافة من إضافة مصطلح السلسلة حسب المصطلح، ويكون الضرب هو منتج Cauchy.
الخصائص الأساسية للمتسلسلات الهندسية
– السلسلة اللانهائية أو ببساطة السلسلة عبارة عن مجموع لا حصر له، ويمثله تعبير غير محدود.
– (A_ {ن})هو أي تسلسل مرتبة من المصطلحات، مثل الأرقام أو الوظائف أو أي شيء آخر يمكن إضافته، هذا تعبير يتم الحصول عليه من قائمة المصطلحات.
– إذا كان لدى مجموعة abelian A للمصطلحات مفهوم الحد (على سبيل المثال، إذا كانت مساحة مترية)، فيمكن تفسير بعض المسلسلات، السلسلة المتقاربة، على أنها لها قيمة في A، تسمى مجموع السلسلة.
-يتضمن ذلك الحالات الشائعة من حساب التفاضل والتكامل التي تكون فيها المجموعة عبارة عن حقل أرقام حقيقية أو مجال أرقام معقدة.
– يقال إن سلسلة متقاربة إذا كانت تتقارب إلى حد ما أو متباينة عندما لا تتقارب، فإن قيمة هذا الحد، إن وجدت، هي قيمة السلسلة.
سلسلة السلطة الرسمية
– في حين تشير العديد من استخدامات سلسلة الطاقة إلى مبالغها، فمن الممكن أيضًا التعامل مع سلسلة الطاقة باعتبارها مبالغ رسمية، مما يعني عدم إجراء عمليات إضافة فعلية، والرمز “+” هو رمز تجريبي للترابط لا يتم تفسيره بالضرورة على أنه الموافق الجمع، في هذا الإعداد، يكون تسلسل المعاملات نفسه ذا أهمية، وليس تقارب السلسلة.
– تُستخدم سلاسل القدرة الرسمية في المجموعات التوافقية لوصف ودراسة التسلسلات التي يصعب التعامل معها، على سبيل المثال، باستخدام طريقة توليد الوظائف، في سلسلة هيلبرت-بوانكاريه هو عبارة عن سلسلة سلطة رسمية تستخدم لدراسة الجبر المتدرج.
– حتى لو لم يكن يعتبر الحد من سلسلة السلطة، وإذا شروط تدعم هيكل مناسب فمن الممكن تحديد عمليات مثل إضافة، الضرب، المشتقات، مشتق عكسي لسلسلة السلطة “رسميا”، وعلاج الرمز “+” كما لو أنه يتوافق مع الجمع.
– في الإعداد الأكثر شيوعًا، تأتي المصطلحات من حلقة تبادلية، بحيث يمكن إضافة سلسلة الطاقة الرسمية مصطلحًا تلو الآخر وضربها عبر منتج Cauchy.
– في هذه الحالة الجبر من سلسلة سلطة رسمية هو الجبر الكامل للمونويد من الأعداد الطبيعية على الحلقة الأساسية المدى، إذا كانت حلقة المصطلح الأساسي عبارة عن جبر تفاضلي، فإن جبر سلسلة القدرة النظامية هو أيضًا جبر تفاضلي، مع إجراء التمايز مصطلحًا تلو الآخر.
تطوير السلسلة اللانهائية
– أنتج عالم الرياضيات اليوناني أرخميدس أول تجميع معروف لسلسلة لا نهائية بأسلوب لا يزال يستخدم في مجال حساب التفاضل والتكامل اليوم، استخدم طريقة الاستنفاد لحساب المنطقة الواقعة تحت قوس القطع المكافئ مع جمع سلسلة لانهائية، وقدم تقريبًا دقيقًا بشكل ملحوظ لـ π .
– درس علماء الرياضيات من ولاية كيرالا في الهند سلسلة لا حصر لها حوالي عام 1350 م، وفي القرن السابع عشر، عمل جيمس غريغوري في النظام العشري الجديد على سلسلة لانهائية ونشر العديد من سلسلة Maclaurin، أما في عام 1715، تم توفير طريقة عامة لإنشاء سلسلة Taylor لجميع الوظائف التي كانت موجودة من قِبل Brook Taylor، وقد قام ليونارد يولر في القرن ال18، بوضع نظرية سلسلة فوق الهندسية.
سلسلة التقارب
سلسلة التقارب هي سلسلة لا حصر لها تصبح مبالغها الجزئية تقريبية جيدة في حدود نقطة ما من المجال، بشكل عام أنها لا تتلاقى ولكنها مفيدة كتسلسلات تقريبية، يوفر كل منها قيمة قريبة من الإجابة المطلوبة لعدد محدود من المصطلحات، الفرق هو أنه لا يمكن إجراء سلسلة مقاربة لإنتاج إجابة بالقدر الذي تريده.
المتسلسلات الهندسية
في الرياضيات، تعتبر السلسلة عبارة عن وصف لعملية إضافة كميات لا حصر لها من الكميات، واحدة تلو الأخرى، إلى كمية بداية معينة، دراسة السلسلة جزء رئيسي من حساب التفاضل والتكامل وتعميمه، تُستخدم السلسلة في معظم مجالات الرياضيات، حتى لدراسة الهياكل المحدودة (كما هو الحال في المجموعات التوافقية)، من خلال وظائف التوليد، وبالإضافة إلى كل مكان في الرياضيات، كما تستخدم على نطاق واسع سلسلة لا نهائية في التخصصات الكمية الأخرى مثل الفيزياء، علوم الحاسب الآلي، الإحصائيات والمالية.
متابعة المتسلسلات الهندسية اللانهائية
– لا يمكن متابعة التسلسل اللانهائي للإضافات التي تتضمنها السلسلة بفعالية (على الأقل في فترة زمنية محدودة)، ومع ذلك، إذا كان للمجموعة التي تنتمي إليها الشروط ومبالغها المحدودة مفهوم الحد، فمن الممكن في بعض الأحيان تعيين قيمة لسلسلة، تسمى مجموع السلسلة، هذه القيمة هي الحد كما يميل ن إلى ما لا نهاية (في حالة وجود الحد) من مبالغ محدودة من ن حيث الأولى من هذه السلسلة، التي تسمى من عشر مبالغ جزئية من هذه السلسلة.
– عندما يكون هذا الحد موجودًا، يقول المرء أن السلسلة متقاربة أو قابلة للتلخيص أو متسلسلة، في هذه الحالة، يسمى الحد مجموع السلسلة، خلاف ذلك، يقال أنه سلسلة متباينة .
– بشكل عام ، تأتي شروط المسلسل من حلقة، غالبًا ما تكون الحقلة من الأعداد الحقيقية أو الحقل من الأرقام المعقدة، في هذه الحالة، تكون مجموعة السلسلة كلها بحد ذاتها حلقة، حيث تتكون الإضافة من إضافة مصطلح السلسلة حسب المصطلح، ويكون الضرب هو منتج Cauchy.
الخصائص الأساسية للمتسلسلات الهندسية
– السلسلة اللانهائية أو ببساطة السلسلة عبارة عن مجموع لا حصر له، ويمثله تعبير غير محدود.
– (A_ {ن})هو أي تسلسل مرتبة من المصطلحات، مثل الأرقام أو الوظائف أو أي شيء آخر يمكن إضافته، هذا تعبير يتم الحصول عليه من قائمة المصطلحات.
– إذا كان لدى مجموعة abelian A للمصطلحات مفهوم الحد (على سبيل المثال، إذا كانت مساحة مترية)، فيمكن تفسير بعض المسلسلات، السلسلة المتقاربة، على أنها لها قيمة في A، تسمى مجموع السلسلة.
-يتضمن ذلك الحالات الشائعة من حساب التفاضل والتكامل التي تكون فيها المجموعة عبارة عن حقل أرقام حقيقية أو مجال أرقام معقدة.
– يقال إن سلسلة متقاربة إذا كانت تتقارب إلى حد ما أو متباينة عندما لا تتقارب، فإن قيمة هذا الحد، إن وجدت، هي قيمة السلسلة.
سلسلة السلطة الرسمية
– في حين تشير العديد من استخدامات سلسلة الطاقة إلى مبالغها، فمن الممكن أيضًا التعامل مع سلسلة الطاقة باعتبارها مبالغ رسمية، مما يعني عدم إجراء عمليات إضافة فعلية، والرمز “+” هو رمز تجريبي للترابط لا يتم تفسيره بالضرورة على أنه الموافق الجمع، في هذا الإعداد، يكون تسلسل المعاملات نفسه ذا أهمية، وليس تقارب السلسلة.
– تُستخدم سلاسل القدرة الرسمية في المجموعات التوافقية لوصف ودراسة التسلسلات التي يصعب التعامل معها، على سبيل المثال، باستخدام طريقة توليد الوظائف، في سلسلة هيلبرت-بوانكاريه هو عبارة عن سلسلة سلطة رسمية تستخدم لدراسة الجبر المتدرج.
– حتى لو لم يكن يعتبر الحد من سلسلة السلطة، وإذا شروط تدعم هيكل مناسب فمن الممكن تحديد عمليات مثل إضافة، الضرب، المشتقات، مشتق عكسي لسلسلة السلطة “رسميا”، وعلاج الرمز “+” كما لو أنه يتوافق مع الجمع.
– في الإعداد الأكثر شيوعًا، تأتي المصطلحات من حلقة تبادلية، بحيث يمكن إضافة سلسلة الطاقة الرسمية مصطلحًا تلو الآخر وضربها عبر منتج Cauchy.
– في هذه الحالة الجبر من سلسلة سلطة رسمية هو الجبر الكامل للمونويد من الأعداد الطبيعية على الحلقة الأساسية المدى، إذا كانت حلقة المصطلح الأساسي عبارة عن جبر تفاضلي، فإن جبر سلسلة القدرة النظامية هو أيضًا جبر تفاضلي، مع إجراء التمايز مصطلحًا تلو الآخر.
تطوير السلسلة اللانهائية
– أنتج عالم الرياضيات اليوناني أرخميدس أول تجميع معروف لسلسلة لا نهائية بأسلوب لا يزال يستخدم في مجال حساب التفاضل والتكامل اليوم، استخدم طريقة الاستنفاد لحساب المنطقة الواقعة تحت قوس القطع المكافئ مع جمع سلسلة لانهائية، وقدم تقريبًا دقيقًا بشكل ملحوظ لـ π .
– درس علماء الرياضيات من ولاية كيرالا في الهند سلسلة لا حصر لها حوالي عام 1350 م، وفي القرن السابع عشر، عمل جيمس غريغوري في النظام العشري الجديد على سلسلة لانهائية ونشر العديد من سلسلة Maclaurin، أما في عام 1715، تم توفير طريقة عامة لإنشاء سلسلة Taylor لجميع الوظائف التي كانت موجودة من قِبل Brook Taylor، وقد قام ليونارد يولر في القرن ال18، بوضع نظرية سلسلة فوق الهندسية.
سلسلة التقارب
سلسلة التقارب هي سلسلة لا حصر لها تصبح مبالغها الجزئية تقريبية جيدة في حدود نقطة ما من المجال، بشكل عام أنها لا تتلاقى ولكنها مفيدة كتسلسلات تقريبية، يوفر كل منها قيمة قريبة من الإجابة المطلوبة لعدد محدود من المصطلحات، الفرق هو أنه لا يمكن إجراء سلسلة مقاربة لإنتاج إجابة بالقدر الذي تريده.
