المشتقات في الرياضيات ، و معدل تغيير وظيفة فيما يتعلق بمتغير ، و هي مشتقات أساسية في حل المشاكل في حساب التفاضل و التكامل و المعادلات التفاضلية . بشكل عام ، يلاحظ العلماء النظم المتغيرة (الأنظمة الديناميكية ) للحصول على معدل التغير لبعض المتغيرات ذات الاهتمام ، و دمج هذه المعلومات في بعض المعادلات التفاضلية ، و استخدام تقنيات التكامل للحصول على وظيفة يمكن استخدامها للتنبؤ بسلوك الأصل النظام في ظل ظروف متنوعة.
تحول المنطقة الدائرية إلى منطقة مستطيلة تقريبًا ، يشير هذا إلى أن الثابت نفسه (π) يظهر في صيغة المحيط ، 2πr ، و في صيغة المنطقة ، πr2 ، مع زيادة عدد القطع (من اليسار إلى اليمين) ، يتقارب “المستطيل” على مستطيل πr بواسطة r مع المساحة πr2 – و هي نفس مساحة الدائرة ، هذه الطريقة لتقريب المنطقة (المعقدة) عن طريق تقسيمها إلى مناطق أبسط تعود إلى العصور القديمة و تعاود الظهور في حساب التفاضل و التكامل.
تحليل المشتقات عالية الترتيب
– يمكن تطبيق عملية التمايز عدة مرات على التوالي ، مما يؤدي بشكل خاص إلى المشتق الثاني f ، و هندسيًا ، يمكن تفسير مشتق دالة باسم المنحدر من الرسم البياني للدالة ، أو بدقة أكثر، و المنحدر من الظل خط في نقطة.
– حسابها في الواقع مستمد من صيغة منحدر لخط مستقيم ، إلا أن الحد من عملية يجب أن تستخدم للمنحنيات ، و يتم التعبير عن المنحدر غالبًا على أنه “الارتفاع” على “المدى” أو ، من حيث الديكارتي ، نسبة التغير في y إلى التغير في x .
– بالنسبة للمنحنى ، تعتمد هذه النسبة على المكان الذي يتم فيه اختيار النقاط ، مما يعكس حقيقة أن المنحنيات ليس لها ميل ثابت ، للعثور على الميل عند النقطة المرغوبة ، يمثل اختيار النقطة الثانية اللازمة لحساب النسبة صعوبة لأنه ، بصفة عامة ، فإن النسبة لا تمثل سوى ميل متوسط بين النقاط ، بدلاً من الميل الفعلي في أي نقطة.
– يمكن تحديد الميل ، أو معدل التغير الفوري ، لمنحنى عند نقطة معينة (x0 ، f (x0)) من خلال مراقبة الحد من متوسط معدل التغيير كنقطة ثانية (x0 + h ، f (x0 + ح)) يقترب من النقطة الأصلية.
– يمكن تحديد الميل ، أو معدل التغير الفوري ، لمنحنٍ في نقطة معينة ( x 0 ، f ( x 0 )) من خلال ملاحظة الحد الأقصى لمتوسط معدل التغيير كنقطة ثانية ( x 0 + h ، f ( x 0 + h )) تقترب من النقطة الأصلية.
تعميم المشتقات
– يمكن توسيع مفهوم المشتق إلى العديد من الإعدادات الأخرى ، الخيط المشترك هو أن مشتق دالة في نقطة ما بمثابة تقريب خطي للوظيفة في تلك المرحلة.
– تعميما هاما من اهتمامات مشتقة مهام معقدة من المتغيرات المعقدة ، مثل وظائف من (مجال في) الأعداد المركبة C إلى C ، و يتم الحصول على فكرة مشتق من هذه الوظيفة عن طريق استبدال المتغيرات الحقيقية مع المتغيرات المعقدة في التعريف.
– إذا تم تحديد C بالرمز R 2 عن طريق كتابة رقم مركب z كـ x + iy ، فمن المؤكد أن دالة مميزة من C إلى C يمكن تمييزها كدالة من R 2 إلى R 2(بمعنى أن جميع مشتقاته الجزئية موجودة) ، لكن العكس ليس صحيحًا بشكل عام: المشتق المركب موجود فقط إذا كان المشتق الحقيقي خطيًا معقدًا وهذا يفرض العلاقات بين المشتقات الجزئية التي تسمى معادلات كوشي ريمان.
– يتعلق التعميم الآخر بالوظائف بين الفتحات المختلفة أو السلسة ، حيث يتحدث بشكل حدسي هذا المتعددة M هو المساحة التي يمكن أن يقترب قرب كل نقطة س بمسافة ناقلات دعا لها مساحة الظل : على سبيل المثال تنميط هو سطح أملس في R 3 .
– المشتق (أو التفاضلي) للخريطة (القابلة للتمييز) f : M → N بين المشعبات ، عند النقطة x في M ، هو بعد ذلك خريطة خطية من الفضاء المماسي لـ M عند x إلى الفضاء المماسي لـن في و ( س ) ، و تصبح وظيفة مشتقة خريطة بين حزم الظل من M و N ، هذا التعريف هو أمر أساسي في الهندسة التفاضلية ، و لها العديد من الاستخدامات.
– يمكن أيضا تعريف التمايز للخرائط بين الأبعاد اللانهائية المساحات ناقلات مثل المساحات باناخ و المساحات فريشيه ، هناك تعميم لكلٍّ من مشتق الاتجاه ، يُطلق عليه مشتق جاتو ، و المشتق التفاضلي ، و يُطلق عليه مشتق فريتشت.
– أحد أوجه القصور في المشتق الكلاسيكي هو أن العديد من الوظائف لا يمكن تمييزها. ومع ذلك ، هناك طريقة لتوسيع مفهوم المشتق بحيث يمكن التمييز بين جميع الوظائف المستمرة والعديد من الوظائف الأخرى باستخدام مفهوم يعرف باسم المشتق الضعيف . تتمثل الفكرة في تضمين الوظائف المستمرة في مساحة أكبر تسمى مساحة التوزيعات وتتطلب فقط أن تكون الوظيفة مختلفة “في المتوسط”.
تحول المنطقة الدائرية إلى منطقة مستطيلة تقريبًا ، يشير هذا إلى أن الثابت نفسه (π) يظهر في صيغة المحيط ، 2πr ، و في صيغة المنطقة ، πr2 ، مع زيادة عدد القطع (من اليسار إلى اليمين) ، يتقارب “المستطيل” على مستطيل πr بواسطة r مع المساحة πr2 – و هي نفس مساحة الدائرة ، هذه الطريقة لتقريب المنطقة (المعقدة) عن طريق تقسيمها إلى مناطق أبسط تعود إلى العصور القديمة و تعاود الظهور في حساب التفاضل و التكامل.
تحليل المشتقات عالية الترتيب
– يمكن تطبيق عملية التمايز عدة مرات على التوالي ، مما يؤدي بشكل خاص إلى المشتق الثاني f ، و هندسيًا ، يمكن تفسير مشتق دالة باسم المنحدر من الرسم البياني للدالة ، أو بدقة أكثر، و المنحدر من الظل خط في نقطة.
– حسابها في الواقع مستمد من صيغة منحدر لخط مستقيم ، إلا أن الحد من عملية يجب أن تستخدم للمنحنيات ، و يتم التعبير عن المنحدر غالبًا على أنه “الارتفاع” على “المدى” أو ، من حيث الديكارتي ، نسبة التغير في y إلى التغير في x .
– بالنسبة للمنحنى ، تعتمد هذه النسبة على المكان الذي يتم فيه اختيار النقاط ، مما يعكس حقيقة أن المنحنيات ليس لها ميل ثابت ، للعثور على الميل عند النقطة المرغوبة ، يمثل اختيار النقطة الثانية اللازمة لحساب النسبة صعوبة لأنه ، بصفة عامة ، فإن النسبة لا تمثل سوى ميل متوسط بين النقاط ، بدلاً من الميل الفعلي في أي نقطة.
– يمكن تحديد الميل ، أو معدل التغير الفوري ، لمنحنى عند نقطة معينة (x0 ، f (x0)) من خلال مراقبة الحد من متوسط معدل التغيير كنقطة ثانية (x0 + h ، f (x0 + ح)) يقترب من النقطة الأصلية.
– يمكن تحديد الميل ، أو معدل التغير الفوري ، لمنحنٍ في نقطة معينة ( x 0 ، f ( x 0 )) من خلال ملاحظة الحد الأقصى لمتوسط معدل التغيير كنقطة ثانية ( x 0 + h ، f ( x 0 + h )) تقترب من النقطة الأصلية.
تعميم المشتقات
– يمكن توسيع مفهوم المشتق إلى العديد من الإعدادات الأخرى ، الخيط المشترك هو أن مشتق دالة في نقطة ما بمثابة تقريب خطي للوظيفة في تلك المرحلة.
– تعميما هاما من اهتمامات مشتقة مهام معقدة من المتغيرات المعقدة ، مثل وظائف من (مجال في) الأعداد المركبة C إلى C ، و يتم الحصول على فكرة مشتق من هذه الوظيفة عن طريق استبدال المتغيرات الحقيقية مع المتغيرات المعقدة في التعريف.
– إذا تم تحديد C بالرمز R 2 عن طريق كتابة رقم مركب z كـ x + iy ، فمن المؤكد أن دالة مميزة من C إلى C يمكن تمييزها كدالة من R 2 إلى R 2(بمعنى أن جميع مشتقاته الجزئية موجودة) ، لكن العكس ليس صحيحًا بشكل عام: المشتق المركب موجود فقط إذا كان المشتق الحقيقي خطيًا معقدًا وهذا يفرض العلاقات بين المشتقات الجزئية التي تسمى معادلات كوشي ريمان.
– يتعلق التعميم الآخر بالوظائف بين الفتحات المختلفة أو السلسة ، حيث يتحدث بشكل حدسي هذا المتعددة M هو المساحة التي يمكن أن يقترب قرب كل نقطة س بمسافة ناقلات دعا لها مساحة الظل : على سبيل المثال تنميط هو سطح أملس في R 3 .
– المشتق (أو التفاضلي) للخريطة (القابلة للتمييز) f : M → N بين المشعبات ، عند النقطة x في M ، هو بعد ذلك خريطة خطية من الفضاء المماسي لـ M عند x إلى الفضاء المماسي لـن في و ( س ) ، و تصبح وظيفة مشتقة خريطة بين حزم الظل من M و N ، هذا التعريف هو أمر أساسي في الهندسة التفاضلية ، و لها العديد من الاستخدامات.
– يمكن أيضا تعريف التمايز للخرائط بين الأبعاد اللانهائية المساحات ناقلات مثل المساحات باناخ و المساحات فريشيه ، هناك تعميم لكلٍّ من مشتق الاتجاه ، يُطلق عليه مشتق جاتو ، و المشتق التفاضلي ، و يُطلق عليه مشتق فريتشت.
– أحد أوجه القصور في المشتق الكلاسيكي هو أن العديد من الوظائف لا يمكن تمييزها. ومع ذلك ، هناك طريقة لتوسيع مفهوم المشتق بحيث يمكن التمييز بين جميع الوظائف المستمرة والعديد من الوظائف الأخرى باستخدام مفهوم يعرف باسم المشتق الضعيف . تتمثل الفكرة في تضمين الوظائف المستمرة في مساحة أكبر تسمى مساحة التوزيعات وتتطلب فقط أن تكون الوظيفة مختلفة “في المتوسط”.
