يعد المثلث أحد الأشكال الأساسية في الهندسة، وهو شكل ثنائي الأبعاد مكون من ثلاثة رؤوس تصل بينها ثلاثة قطع مستقيمة هي الأضلاع، وتلك الأضلاع لا تتقاطع أبداً، ويمكن تعريف المثلث باستخدام أطوال أضلاعه، باستخدام متباينة المثلث والتي تعني مجموع أي ضلعان في المثلث يكون أكبر من طول الضلع الأخير، كما يمكن معرفة المثلث بمعرفة زواياه، وذلك كونه الشكل الهندسي الذي يحتوي على ثلاثة زوايا مجموعها معاً يساوي 180 درجة، ويرمز للمثلث الذي رؤوسه (أ) (ب) (جـ) يرمز له بـ المثلث أ ب جـ.
تصنيف المثلثات تصنف المثلثات تبعا لأطوال أضلاعها
1 – مثلث متساوي الأضلاع، وفيه تكون جميع الأضلاع متساوية، وتكون جميع زواياه متساوية أيضا، وقيمة كل منها 60 درجة.
2- مثلث متساوي الضلعين، ويسمى متساوي الساقين، ويكون فيه ضلعان متساويان، والزاويتان المقابلتان لهذين الضلعين تكونان متساويتين أيضا.
3- مثلث مختلف الأضلاع، وهو مثلث أطوال أضلاعه مختلفة، وتكون قيم زوايا مختلفة أيضا.
تصنيف المثلثات حسب زوايا المثلث الداخلية
تصنف المثلثات أيضا تبعا لقياس الزوايا الداخلية لها، وتكون :
1- مثلث قائم الزاوية، ويكون فيه زاوية قائمة يكون قياسها 90 درجة، ويسمي الضلع المقابل للزاوية القائمة بالوتر، ويكون أطول الأضلاع.
2- مثلث منفرج الزاوية، ويكون فيه زاوية منفرجة قياسها أكبر من 90 درجة وأصغر من 180 درجة.
3- مثلث حاد الزوايا، وفيه تكون كل زواياه حادة، وقياس كل زاوية أصغر من 90 درجة.
مجموع زوايا المثلث
مجموع الزوايا الداخلية للمثلث يساوي 180 درجة.
ويمكن إثبات ذلك عن طريق الزاوية المستقيمة.
الزاوية الخارجية للمثلث
الزاوية الخارجية للمثلث تساوي مجموع الزاويتين الداخلتين غير المجاورة لها.
مجموع الزوايا الخارجية الثلاثة (واحدة لكل رأس) لأي مثلث يكون 360 درجة.
تطابق مثلثين
يتطابق أي مثلثين إذا توافر أحد الشروط التالية
1 – إذا تساوت أطوال الأضلاع المتناظرة فيهما، أي طول كل ضلع في مثلث يساوي طول الضلع المناظر له في المثلث الآخر.
2- إذا تساوت زاويتان من المثلث الأول مع زاويتين في المثلث الثاني وتساوى طول الضلع المشترك بين الزاويتين مع نظيره في المثلث الثاني.
3- إذا تساوى قياس زاوية من مثلث، مع قياس زاوية من مثلث آخر، وتساوت أطوال الضلعين اللذين يحتويان هذه الزاوية في مثلث مع أطوال الضلعين المناظرين في المثلث الثاني.
4- وينتج عن هذا التطابق تساوي مساحتي المثلثين المتطابقين، وأيضا تساوي محيطيهما.
تشابه مثلثين
يتشابه المثلثين إذا كانت الزوايا المتقابلة لكل منهما متساوية.
إذا كانت أطوال أضلاعهما متناسبة، بمعنى إذا كان طول أقصر أضلاع المثلث الأول هو ضعفا طول أقصر أضلاع المثلث الثاني، فإن طول كل من الضلعين الأطول والمتوسط من المثلث الأول هو ضعفا طولي الضلعين الأطول والمتوسط من المثلث الثاني أيضا.
وتكون حالات التشابه إذا
تناسبت أطوال الأضلاع المتناظرة.
تساوت زاويتان من المثلث الأول مع زاويتين في المثلث الثاني.
تساوي قياس زاوية من مثلث قياس زاوية من مثلث آخر، وتتناسبت أطوال الضلعين اللذين يحتويان هذه الزاوية.
وينتج عن هذا التشابه نتائج هي
النسبة بين مساحتي مثلثين متشابهين تساوي مربع النسبة بين طولي أي ضلعين متناظرين فيهما.
وتساوي النسبة بين محيطي مثلثين متشابهين النسبة بين طولي أي ضلعين متناظرين فيهما.
حقائق عن المثلث
المثلث المتساوي الأضلاع تكون جميع زواياه متساوية وقياس كل منها 60 درجة.
المثلث المتساوي الساقيين تكون الزاوية المقابلة للأضلاع المتساوية متساوية في القياس.
المثلث المختلف الأضلاع تختلف زواياه مختلفة في قياساتها.
تصنيف المثلثات تصنف المثلثات تبعا لأطوال أضلاعها
1 – مثلث متساوي الأضلاع، وفيه تكون جميع الأضلاع متساوية، وتكون جميع زواياه متساوية أيضا، وقيمة كل منها 60 درجة.
2- مثلث متساوي الضلعين، ويسمى متساوي الساقين، ويكون فيه ضلعان متساويان، والزاويتان المقابلتان لهذين الضلعين تكونان متساويتين أيضا.
3- مثلث مختلف الأضلاع، وهو مثلث أطوال أضلاعه مختلفة، وتكون قيم زوايا مختلفة أيضا.
تصنيف المثلثات حسب زوايا المثلث الداخلية
تصنف المثلثات أيضا تبعا لقياس الزوايا الداخلية لها، وتكون :
1- مثلث قائم الزاوية، ويكون فيه زاوية قائمة يكون قياسها 90 درجة، ويسمي الضلع المقابل للزاوية القائمة بالوتر، ويكون أطول الأضلاع.
2- مثلث منفرج الزاوية، ويكون فيه زاوية منفرجة قياسها أكبر من 90 درجة وأصغر من 180 درجة.
3- مثلث حاد الزوايا، وفيه تكون كل زواياه حادة، وقياس كل زاوية أصغر من 90 درجة.
مجموع زوايا المثلث
مجموع الزوايا الداخلية للمثلث يساوي 180 درجة.
ويمكن إثبات ذلك عن طريق الزاوية المستقيمة.
الزاوية الخارجية للمثلث
الزاوية الخارجية للمثلث تساوي مجموع الزاويتين الداخلتين غير المجاورة لها.
مجموع الزوايا الخارجية الثلاثة (واحدة لكل رأس) لأي مثلث يكون 360 درجة.
تطابق مثلثين
يتطابق أي مثلثين إذا توافر أحد الشروط التالية
1 – إذا تساوت أطوال الأضلاع المتناظرة فيهما، أي طول كل ضلع في مثلث يساوي طول الضلع المناظر له في المثلث الآخر.
2- إذا تساوت زاويتان من المثلث الأول مع زاويتين في المثلث الثاني وتساوى طول الضلع المشترك بين الزاويتين مع نظيره في المثلث الثاني.
3- إذا تساوى قياس زاوية من مثلث، مع قياس زاوية من مثلث آخر، وتساوت أطوال الضلعين اللذين يحتويان هذه الزاوية في مثلث مع أطوال الضلعين المناظرين في المثلث الثاني.
4- وينتج عن هذا التطابق تساوي مساحتي المثلثين المتطابقين، وأيضا تساوي محيطيهما.
تشابه مثلثين
يتشابه المثلثين إذا كانت الزوايا المتقابلة لكل منهما متساوية.
إذا كانت أطوال أضلاعهما متناسبة، بمعنى إذا كان طول أقصر أضلاع المثلث الأول هو ضعفا طول أقصر أضلاع المثلث الثاني، فإن طول كل من الضلعين الأطول والمتوسط من المثلث الأول هو ضعفا طولي الضلعين الأطول والمتوسط من المثلث الثاني أيضا.
وتكون حالات التشابه إذا
تناسبت أطوال الأضلاع المتناظرة.
تساوت زاويتان من المثلث الأول مع زاويتين في المثلث الثاني.
تساوي قياس زاوية من مثلث قياس زاوية من مثلث آخر، وتتناسبت أطوال الضلعين اللذين يحتويان هذه الزاوية.
وينتج عن هذا التشابه نتائج هي
النسبة بين مساحتي مثلثين متشابهين تساوي مربع النسبة بين طولي أي ضلعين متناظرين فيهما.
وتساوي النسبة بين محيطي مثلثين متشابهين النسبة بين طولي أي ضلعين متناظرين فيهما.
حقائق عن المثلث
المثلث المتساوي الأضلاع تكون جميع زواياه متساوية وقياس كل منها 60 درجة.
المثلث المتساوي الساقيين تكون الزاوية المقابلة للأضلاع المتساوية متساوية في القياس.
المثلث المختلف الأضلاع تختلف زواياه مختلفة في قياساتها.
