من أهم الأهداف العامة و اهمية مادة الرياضيات في الصف الثالث المتوسط غرس العقيدة الدينية في نفوس الطلاب ، وجعل الوازع الديني أساس للسلوكيات والأفعال ، وتعزيز حب الله وتقوية الصلة بين الطالب وربه ، وإمداد الطلبة بالمعارف والمعلومات المناسبة لمرحلتهم العمرية ، وتشجيعهم على التأمل والبحث عن المعلومات والمعرفة ، وكذلك تربيتهم على أسس اجتماعية دينية قائمة على الحب والتعاون والقدرة على تحمل المسئوليات ، وأيضا غرس روح حب الوطن والإخلاص له وخدمته ، وتدريبهم على حسن الانتفاع بالوقت في الاستزادة بالعلم عن طريق القراءة ، بالإضافة إلى تقوية الوعي والتأهيل للمراحل القادمة .
وتتنوع الدروس والمواد وتختلف حول هذا المفهوم لينشأ جيلا قويا متسلحا بالعلم والإيمان ، ومن أهم الدروس التي يسعى الطلاب للبحث عنها في مادة الرياضيات درس تبسيط العبارات الجذرية ، والذي سيتم شرحه في المقال التالي مع الأمثلة .
الجذور التربيعية
في الدروس السابقة من الجبر تعلمنا ذلك :
32- = 3- ، 3- = 9
32=3⋅3=9
فـ 9 هي مربع 3 ، ومربع -3 هو 9 أيضا .
لذا يقال إن 3 و -3 هي الجذور التربيعية لـ 9 .
جميع الأرقام الحقيقية لها جذران مربعان ، جذر مربع واحد موجب وجذر مربع واحد سالب ، ويشار في بعض الأحيان إلى أن الجذر التربيعي الموجب يسمى باسم الجذر التربيعي الرئيسي ، وقد تم توضيح سبب وجود جذرين مربعين أعلاه ، ومن المعروف أن يكون ناتج ضرب الرقمين موجبًا إذا كان كلا الرقمين لهما نفس الإشارة كما هو الحال مع المربعات والجذور التربيعية .
أ2=أ⋅أ=(-أ)*(-أ) .
تتم كتابة الجذر التربيعي برمز جذري √ ويكون أسفله الرمز ” أ ” أو القيمة المراد إيجاد الجذر لها : فمثلا أ –√ = أ .
للإشارة إلى أننا نريد كلاً من الجذر التربيعي الموجب والسالب ، نضع الرمز ± أمام الجذر ، فمثلا : ± 9-√= ± 3 .
ملحوظات هامة
الصفر لديه الجذر التربيعي 0 ، 0√= 0 .
لا تحتوي الأرقام السالبة على جذور مربعة ، حقيقية لأن المربع إما موجب أو 0 .
إذا كان الجذر التربيعي لعدد صحيح هو عدد صحيح آخر ، فإن المربع يسمى مربع مثالي ، على سبيل المثال 25 هو مربع مثالي لأن ± 25–√= ± 5 ، ±25=±25 .
إذا كان المربع ليس مربعًا مثاليًا ، فالجذر التربيعي ليس عددًا صحيحًا مما يجب عليك تقريب الجذر التربيعي ± 3-√= ± 1.73205 … ≈ ± 1.7
الجذور المربعة للأرقام التي ليست مربعًا مثاليًا ، هذا يعني أنه لا يمكن كتابتها على أنها حاصل عدد صحيحين ، فتكتب بشكل عشري . [1]
خطوات تبسيط العبارات الجذرية
تبسيط الجذور التربيعية
يتم تبسيط العبارات الجذرية عن طريق كتابتها بصورة أبسط بحيث يصبح من السهل فهمها وتطبيقها في مسائل الرياضيات ، ويكون ذلك بعدة خطوات :
أولا : إذا كان العدد تحت الجذر زوجيا يتم تقسيمه على أصغر عدد أولي ممكن وهو العدد ( 2 ) ، أما إذا كان فرديا فيتم محاولة تقسيمه على ( 3 ) ، ولكن إذا لم نحصل على عددا صحيحا في ناتج القسمة نقوم بتجريب القسمة على الأعداد ( 2 ، 3 ، 5 ، 7 ، 11 ، 13 ، 17 ) ، حتى نجد لدينا عدد صحيح في ناتج القسمة .
مثال على ذلك = 98 √ = (2 ×49)√ .
ثانيا : وبعد ذلك يعاد كتابة الجذر التربيعي كمسألة من مسائل الضرب العادية ، ففي المثال قسمنا العدد 98 / 2 فكان الناتج هو 49 ، وبالتالي تم تبسيط العدد 98 إلى 49 * 2 .
98 √ = (2 ×49) √= (2 ×7 ×7)√ .
ثالثا : نكرر عملية التبسيط مرة أخرى على أحد العددين السابقين أسفل الجذر ، وبتجربة الأعداد السابقة كما ذكرنا وهي ( 2 ، 3 ، 5 ، 7 ، 11 ، 13 ، 17 ) ، سوف نجد أنه إذا قسمنا على 2 على سبيل المثال سوف نجد أن ناتج القسمة سوف يكون عددا غير صحيح ، لأنه لا يمكننا تقسيم 49 على 2 بدون باق ، ونفس الأمر عند القسمة على 3 أو 5 ، ولذلك يتم تقسيم العدد 49 على 7 للحصول على ناتج قسمة عددا صحيحا بدون باق ، فيتم تبسيط رقم 49 إلى 7 * 7 ، ويتم كتابة الجذر كما يلي :
98 √ = (2 ×49) √= (2 ×7 ×7)√ .
رابعا : بم أنه أصبح لدينا عددان متماثلان أسفل الجذر ، فإنه يصبح بإمكاننا تحويل العددان إلى عدد صحيح واحد خارج علامة الجذر ، وتظل باقي الأعداد تحت الجذر كما هي بالشكل التالي :
98 √= (2 ×49 ) √ = (2 ×7 ×7) √ = 7 * 2√ .
خامسا : ليس من الضروري أن نستمر في تحليل العدد تحت الجذر إلى عدد أصغر ، طالما أننا حصلنا على عددان متماثلان من عوامل العدد ، مثال على ذلك 16 √ يتم تبسيطه إلى (4 ×4) √، فإذا استمررنا بتحليله إلى عوامل أصغر سيصبح لدينا (2 ×2 ×2 ×2) √ ، أي أنه في النهاية سنصل إلى النتيجة نفسها وهي 4 ، ولكن سوف نضطر إلى زيادة الخطوات للوصول إلى نفس الناتج .
سادسا : يمكن تبسيط الجذر مرات عديدة وذلك إذا كانت الأعداد أسفل الجذر كبيرة ، عن طريق ضرب الأعداد الصحيحة التي تم استخراجها أسفل الجذر ، حتى يمكن الحصول على الناتج النهائي كما يلي :
180 √ = (2×90)√
180 √ = (2×2 ×45)√
180 √ = 2 * 45√
180 √ = 2 * (3×15)√
180√ = 2 * (3×3 ×5)
180√ = 2 ×3 * 5√
180 √ = 6 * 5 √
سابعا : إذا لم نتمكن من إيجاد عاملين متماثلين في هذه الحالة نقول أن هذا العبارة الجذرية لا يمكن تبسيطها ، وفي هذه الحالة يكون الجذر التربيعي هو نفسه أبسط صورة ممكنة ، ولا يمكن تبسيطه أكثر من ذلك ، مثال على ذلك عند تبسيط (70 ) √ يتم تبسيطه كما يلي (2 ×35) √ ، ومن ثم عند تبسيطه مرة أخرى يصبح (2 ×5 ×7) √ ، وهذه الأعداد الثلاثة أسفل الجذر هي أعداد أولية بالفعل لا يمكن تبسيطها إلى أقل منها والحصول على أعداد صحيحة عند تقسيمها لأصغر منها ، وبالتالي نقول أن 70 √ لا يمكن تبسيطه .
وتتنوع الدروس والمواد وتختلف حول هذا المفهوم لينشأ جيلا قويا متسلحا بالعلم والإيمان ، ومن أهم الدروس التي يسعى الطلاب للبحث عنها في مادة الرياضيات درس تبسيط العبارات الجذرية ، والذي سيتم شرحه في المقال التالي مع الأمثلة .
الجذور التربيعية
في الدروس السابقة من الجبر تعلمنا ذلك :
32- = 3- ، 3- = 9
32=3⋅3=9
فـ 9 هي مربع 3 ، ومربع -3 هو 9 أيضا .
لذا يقال إن 3 و -3 هي الجذور التربيعية لـ 9 .
جميع الأرقام الحقيقية لها جذران مربعان ، جذر مربع واحد موجب وجذر مربع واحد سالب ، ويشار في بعض الأحيان إلى أن الجذر التربيعي الموجب يسمى باسم الجذر التربيعي الرئيسي ، وقد تم توضيح سبب وجود جذرين مربعين أعلاه ، ومن المعروف أن يكون ناتج ضرب الرقمين موجبًا إذا كان كلا الرقمين لهما نفس الإشارة كما هو الحال مع المربعات والجذور التربيعية .
أ2=أ⋅أ=(-أ)*(-أ) .
تتم كتابة الجذر التربيعي برمز جذري √ ويكون أسفله الرمز ” أ ” أو القيمة المراد إيجاد الجذر لها : فمثلا أ –√ = أ .
للإشارة إلى أننا نريد كلاً من الجذر التربيعي الموجب والسالب ، نضع الرمز ± أمام الجذر ، فمثلا : ± 9-√= ± 3 .
ملحوظات هامة
الصفر لديه الجذر التربيعي 0 ، 0√= 0 .
لا تحتوي الأرقام السالبة على جذور مربعة ، حقيقية لأن المربع إما موجب أو 0 .
إذا كان الجذر التربيعي لعدد صحيح هو عدد صحيح آخر ، فإن المربع يسمى مربع مثالي ، على سبيل المثال 25 هو مربع مثالي لأن ± 25–√= ± 5 ، ±25=±25 .
إذا كان المربع ليس مربعًا مثاليًا ، فالجذر التربيعي ليس عددًا صحيحًا مما يجب عليك تقريب الجذر التربيعي ± 3-√= ± 1.73205 … ≈ ± 1.7
الجذور المربعة للأرقام التي ليست مربعًا مثاليًا ، هذا يعني أنه لا يمكن كتابتها على أنها حاصل عدد صحيحين ، فتكتب بشكل عشري . [1]
خطوات تبسيط العبارات الجذرية
تبسيط الجذور التربيعية
يتم تبسيط العبارات الجذرية عن طريق كتابتها بصورة أبسط بحيث يصبح من السهل فهمها وتطبيقها في مسائل الرياضيات ، ويكون ذلك بعدة خطوات :
أولا : إذا كان العدد تحت الجذر زوجيا يتم تقسيمه على أصغر عدد أولي ممكن وهو العدد ( 2 ) ، أما إذا كان فرديا فيتم محاولة تقسيمه على ( 3 ) ، ولكن إذا لم نحصل على عددا صحيحا في ناتج القسمة نقوم بتجريب القسمة على الأعداد ( 2 ، 3 ، 5 ، 7 ، 11 ، 13 ، 17 ) ، حتى نجد لدينا عدد صحيح في ناتج القسمة .
مثال على ذلك = 98 √ = (2 ×49)√ .
ثانيا : وبعد ذلك يعاد كتابة الجذر التربيعي كمسألة من مسائل الضرب العادية ، ففي المثال قسمنا العدد 98 / 2 فكان الناتج هو 49 ، وبالتالي تم تبسيط العدد 98 إلى 49 * 2 .
98 √ = (2 ×49) √= (2 ×7 ×7)√ .
ثالثا : نكرر عملية التبسيط مرة أخرى على أحد العددين السابقين أسفل الجذر ، وبتجربة الأعداد السابقة كما ذكرنا وهي ( 2 ، 3 ، 5 ، 7 ، 11 ، 13 ، 17 ) ، سوف نجد أنه إذا قسمنا على 2 على سبيل المثال سوف نجد أن ناتج القسمة سوف يكون عددا غير صحيح ، لأنه لا يمكننا تقسيم 49 على 2 بدون باق ، ونفس الأمر عند القسمة على 3 أو 5 ، ولذلك يتم تقسيم العدد 49 على 7 للحصول على ناتج قسمة عددا صحيحا بدون باق ، فيتم تبسيط رقم 49 إلى 7 * 7 ، ويتم كتابة الجذر كما يلي :
98 √ = (2 ×49) √= (2 ×7 ×7)√ .
رابعا : بم أنه أصبح لدينا عددان متماثلان أسفل الجذر ، فإنه يصبح بإمكاننا تحويل العددان إلى عدد صحيح واحد خارج علامة الجذر ، وتظل باقي الأعداد تحت الجذر كما هي بالشكل التالي :
98 √= (2 ×49 ) √ = (2 ×7 ×7) √ = 7 * 2√ .
خامسا : ليس من الضروري أن نستمر في تحليل العدد تحت الجذر إلى عدد أصغر ، طالما أننا حصلنا على عددان متماثلان من عوامل العدد ، مثال على ذلك 16 √ يتم تبسيطه إلى (4 ×4) √، فإذا استمررنا بتحليله إلى عوامل أصغر سيصبح لدينا (2 ×2 ×2 ×2) √ ، أي أنه في النهاية سنصل إلى النتيجة نفسها وهي 4 ، ولكن سوف نضطر إلى زيادة الخطوات للوصول إلى نفس الناتج .
سادسا : يمكن تبسيط الجذر مرات عديدة وذلك إذا كانت الأعداد أسفل الجذر كبيرة ، عن طريق ضرب الأعداد الصحيحة التي تم استخراجها أسفل الجذر ، حتى يمكن الحصول على الناتج النهائي كما يلي :
180 √ = (2×90)√
180 √ = (2×2 ×45)√
180 √ = 2 * 45√
180 √ = 2 * (3×15)√
180√ = 2 * (3×3 ×5)
180√ = 2 ×3 * 5√
180 √ = 6 * 5 √
سابعا : إذا لم نتمكن من إيجاد عاملين متماثلين في هذه الحالة نقول أن هذا العبارة الجذرية لا يمكن تبسيطها ، وفي هذه الحالة يكون الجذر التربيعي هو نفسه أبسط صورة ممكنة ، ولا يمكن تبسيطه أكثر من ذلك ، مثال على ذلك عند تبسيط (70 ) √ يتم تبسيطه كما يلي (2 ×35) √ ، ومن ثم عند تبسيطه مرة أخرى يصبح (2 ×5 ×7) √ ، وهذه الأعداد الثلاثة أسفل الجذر هي أعداد أولية بالفعل لا يمكن تبسيطها إلى أقل منها والحصول على أعداد صحيحة عند تقسيمها لأصغر منها ، وبالتالي نقول أن 70 √ لا يمكن تبسيطه .
