الأعداد نسبية هي تلك الأعداد التي يمكن كتابتها على صورة كسر ، أما الأعداد الغير نسبية فإنها تلك الأعداد التي لا يمكن تمثيلها على صورة كسر .
نبذة عن الأعداد النسبية
– العدد النسبي هو العدد الذي يُمكن كتابته على صورة كسر عادي ، و يكون بسطه عدد صحيح ، و مقامه عدد صحيح ، لكن بشرط ألا يكون المقام صفراً ، أي مجموعة الأعداد النسبية هي المجموعة التي تستخدم الرمز للدلالة عليها ، و كل عدد صحيح هو عدد نسبي ! -2 ـ ، 5 ، و طبقًا لهذا التعريف فيكون بالضرورة إمكانية تمثيل العدد على صورة كسر عشري منته أو متكرر ، و مثال على الكسر العشري المنتهي : (½=0.5) ، أما الكسر العشري المتكرر لكن بنمط معين ، مثل : (⅓=…0.3333333) .
– مثال : العدد 7 ، هو عدد نسبي يمكن تمثيله على صورة كسر ، فهو يساوي : (7÷1) ، و هناك أيضًا الجذر التربيعي لـ (4) يكون عدد نسبي يمكن تبسيطه ليساوي (2) ، و (2) يمكن أن تمثل على صورة كسر ، فهو يساوي : (2÷1) ، و هناك أيضًا 0.1111 نسبي يمكن كتابته على صورة كسر ، فهو يساوي : (1÷9) ، كما أن الجزء العشري منه يتكرر بنمط معين .
– مع العلم أنه يمكن أن تكون قيمة بسط العدد النسبي صفرًا ، بسبب جواز قسمة العدد صفر على أي عدد ، و الناتج يكون صفرًا أيضًا ، و من الممكن للأعداد النسبية أن تكون موجبة أو سالبة ، و قد يتم تغيير إشارة الكسر ككل من خلال وجود إشارتين سالبتين إحداهما في البسط و الأخرى في المقام ، فعند قسمة عدد سالب على عدد سالب يكون الناتج النهائي للكسر موجبًا .
– و يمكن تحويل صورة الأعداد النسبية إلى أرقام صحيحة تحتوي على منازل بعد الفاصلة كأجزاء من العدد الصحيح ، و قد تكون هذه المنازل من 10 أو من 100 مثل 9.1 ، و تقرأ تسعة و واحد من العشرة ، و نحو 3.69 و تقرأ ثلاثة و تسعة و ستون من المئة ، و يكون المقام الطبيعي للعدد الذي لا يحتوي على مقام هو العدد واحد ، حيث إن حاصل قسم أي عدد على واحد يكون العدد نفسه ، و لهذا السبب يمكن أن يطلق مسمى العدد النسبي على أي عدد صحيح .
العمليات الحسابية للأعداد النسبية عمليات الجمع و الطرح للأعداد النسبية
– هناك شرط أساسي عند الرغبة في إجراء عمليتي الجمع و الطرح بين أي عددين نسبيين و هو توحيد المقامات ، و ذلك من أجل الحصول على تكافؤ مناسب بين الأعداد الموجودة في البسط مقارنة بالمقامات ، و يمكن الحصول على ذلك عن طريق ضرب بسط و مقام أحد العددين النسبيين في عدد يمكن من خلاله الحصول على مقام العدد النسبي الآخر ، و بعد ذلك يتم جمع البسطين أو طرحهما مع مراعاة الإشارة و تثبيت قيمة المقام كما هي ، و من الأمثلة على ذلك : إيجاد حاصل جمع 1/3 و 1/6
، الحل : يجب توحيد المقامات بضرب الكسر 1/3 بالعدد 2 بسطًا و مقامًا ، و ينتج من ذلك : 1/6 + 2/6 = 3/6 و بالتبسيط فإن الناتج يساوي 1/3 .
عمليات الضرب و القسمة للأعداد النسبية
– يمكن إتمام هاتان العمليتان بدون إجراء عملية توحيد المقامات ، حيث يتم ضرب البسط بالبسط و المقام بالمقام مباشرة ، مع العلم أنه ما ينطبق على عملية الضرب ينطبق على عملية القسمة ، و من الأمثلة على ذلك : إيجاد حاصل ضرب العددين 2/3 و 2/6 ، و يكون الحل : يتم ضرب البسط بالبسط و المقام بالمقام مباشرة و ينتج من ذلك : 2/3*2/6 = 4/18 و بالتبسيط فإن الناتج يساوي 2/9 .
تعريف العدد الغير نسبي
– عندما نأتي بتعريف الأعداد النسبية ، لا بد من ذكر المجموعة الأخرى التي لا تنطبق عليها شروط العدد النسبي ، حيث إن العدد غير النسبي لا يمكن تمثيله على صورة كسر ، بالإضافة إلى أن الكسر العشري لا ينتهي عند رقم معين ، و إنما تستمر إلى ما لانهاية ، و لا يحمل أي نمط تكرار معين ، و ذلك مثل الجذر التربيعي لـ (2) ، و الذي يساوي: (…1.414213562373) .
– π غير نسبي لا يمكن كتابته على صورة عدد عشري منته أو متكرر بنمط ، حيث يساوي : (…3.1415926) ، و هناك أيضًا الجذر التربيعي لـ (99) فهو غير نسبي لا يمكن كتابته على صورة عدد عشري منته أو متكرر بنمط ، حيث يساوي : (…9.94987437106) .
نبذة عن الأعداد النسبية
– العدد النسبي هو العدد الذي يُمكن كتابته على صورة كسر عادي ، و يكون بسطه عدد صحيح ، و مقامه عدد صحيح ، لكن بشرط ألا يكون المقام صفراً ، أي مجموعة الأعداد النسبية هي المجموعة التي تستخدم الرمز للدلالة عليها ، و كل عدد صحيح هو عدد نسبي ! -2 ـ ، 5 ، و طبقًا لهذا التعريف فيكون بالضرورة إمكانية تمثيل العدد على صورة كسر عشري منته أو متكرر ، و مثال على الكسر العشري المنتهي : (½=0.5) ، أما الكسر العشري المتكرر لكن بنمط معين ، مثل : (⅓=…0.3333333) .
– مثال : العدد 7 ، هو عدد نسبي يمكن تمثيله على صورة كسر ، فهو يساوي : (7÷1) ، و هناك أيضًا الجذر التربيعي لـ (4) يكون عدد نسبي يمكن تبسيطه ليساوي (2) ، و (2) يمكن أن تمثل على صورة كسر ، فهو يساوي : (2÷1) ، و هناك أيضًا 0.1111 نسبي يمكن كتابته على صورة كسر ، فهو يساوي : (1÷9) ، كما أن الجزء العشري منه يتكرر بنمط معين .
– مع العلم أنه يمكن أن تكون قيمة بسط العدد النسبي صفرًا ، بسبب جواز قسمة العدد صفر على أي عدد ، و الناتج يكون صفرًا أيضًا ، و من الممكن للأعداد النسبية أن تكون موجبة أو سالبة ، و قد يتم تغيير إشارة الكسر ككل من خلال وجود إشارتين سالبتين إحداهما في البسط و الأخرى في المقام ، فعند قسمة عدد سالب على عدد سالب يكون الناتج النهائي للكسر موجبًا .
– و يمكن تحويل صورة الأعداد النسبية إلى أرقام صحيحة تحتوي على منازل بعد الفاصلة كأجزاء من العدد الصحيح ، و قد تكون هذه المنازل من 10 أو من 100 مثل 9.1 ، و تقرأ تسعة و واحد من العشرة ، و نحو 3.69 و تقرأ ثلاثة و تسعة و ستون من المئة ، و يكون المقام الطبيعي للعدد الذي لا يحتوي على مقام هو العدد واحد ، حيث إن حاصل قسم أي عدد على واحد يكون العدد نفسه ، و لهذا السبب يمكن أن يطلق مسمى العدد النسبي على أي عدد صحيح .
العمليات الحسابية للأعداد النسبية عمليات الجمع و الطرح للأعداد النسبية
– هناك شرط أساسي عند الرغبة في إجراء عمليتي الجمع و الطرح بين أي عددين نسبيين و هو توحيد المقامات ، و ذلك من أجل الحصول على تكافؤ مناسب بين الأعداد الموجودة في البسط مقارنة بالمقامات ، و يمكن الحصول على ذلك عن طريق ضرب بسط و مقام أحد العددين النسبيين في عدد يمكن من خلاله الحصول على مقام العدد النسبي الآخر ، و بعد ذلك يتم جمع البسطين أو طرحهما مع مراعاة الإشارة و تثبيت قيمة المقام كما هي ، و من الأمثلة على ذلك : إيجاد حاصل جمع 1/3 و 1/6
، الحل : يجب توحيد المقامات بضرب الكسر 1/3 بالعدد 2 بسطًا و مقامًا ، و ينتج من ذلك : 1/6 + 2/6 = 3/6 و بالتبسيط فإن الناتج يساوي 1/3 .
عمليات الضرب و القسمة للأعداد النسبية
– يمكن إتمام هاتان العمليتان بدون إجراء عملية توحيد المقامات ، حيث يتم ضرب البسط بالبسط و المقام بالمقام مباشرة ، مع العلم أنه ما ينطبق على عملية الضرب ينطبق على عملية القسمة ، و من الأمثلة على ذلك : إيجاد حاصل ضرب العددين 2/3 و 2/6 ، و يكون الحل : يتم ضرب البسط بالبسط و المقام بالمقام مباشرة و ينتج من ذلك : 2/3*2/6 = 4/18 و بالتبسيط فإن الناتج يساوي 2/9 .
تعريف العدد الغير نسبي
– عندما نأتي بتعريف الأعداد النسبية ، لا بد من ذكر المجموعة الأخرى التي لا تنطبق عليها شروط العدد النسبي ، حيث إن العدد غير النسبي لا يمكن تمثيله على صورة كسر ، بالإضافة إلى أن الكسر العشري لا ينتهي عند رقم معين ، و إنما تستمر إلى ما لانهاية ، و لا يحمل أي نمط تكرار معين ، و ذلك مثل الجذر التربيعي لـ (2) ، و الذي يساوي: (…1.414213562373) .
– π غير نسبي لا يمكن كتابته على صورة عدد عشري منته أو متكرر بنمط ، حيث يساوي : (…3.1415926) ، و هناك أيضًا الجذر التربيعي لـ (99) فهو غير نسبي لا يمكن كتابته على صورة عدد عشري منته أو متكرر بنمط ، حيث يساوي : (…9.94987437106) .
