تعد حدسية بوانكاريه من أهم المسائل الرياضية التي بقيت لوقت طويل لم يستطع أحد أن يحلها، وهي واحدة من مسائل الألفية التي يقدمها معهد كلاي للرياضيات ويقدم لكل من يقوم بحل أي مسألة من هذه المسائل التي حيرت علماء الرياضيات منذ قرون ماضية جائزة نقدية قدرها مليون دولار، وقد تبرع بهذه الجائزة رجل الأعمال الأمريكي ومؤسس المعهد (لندون كلاي).
علم الطوبولوجيا
يعد علم الطوبولوجيا أو علم البُني الهندسية فرع من أهم فروع علم الرياضيات، حيث يهتم هذا العلم بدراسة الخصائص المختلفة للأشكال عندما تطرأ عليهم تغيرات مستمرة لا تغير من محتواها ولكن هذه التغيرات تعيد تشكيلها، فمثلاً إذا كان لدينا حبل طوله متر فإنه من الممكن أن يلتوي إلى اليسار أو إلى اليمين، ولكن لن تتغير مكونات الحبل الداخلية أو طوله.
إذا قلنا إن هناك جسمين متساويان طوبولوجياً فهذا الأمر يعني أننا إذا قمنا بتشكيل الجسم الأول بطريقة معينة سنحصل على الجسم الثاني، وإذا قمنا بإحضار قطعة من الصلصال، وقمنا بتشكيلها على شكل كأس ماء، فهذه العملية تسمى التشكيل الطوبولوجي، وهناك العديد من الأمثلة على الأجسام الطوبولوجية، فمثلاً الدائرة والمستقيم هما جسمان طوبولوجيان يتكونان من بعد واحد، والدائرة والمربع من بعدين والكرة والمكعب من ثلاث أبعاد.
الباحث في علم الطوبولوجيا يختص بدراسة الخصائص الطوبولوجية للأجسام المختلفة عند تحويلها من شكل رياضي معين إلى شكل رياضي آخر.
حدسية بوانكاريه
بدأت قصة بوانكاريه في عام 1904، عندما قدمها عالم في علم الرياضيات يطلق عليه أبو علم الطوبولوجيا الفرنسي هنري بوانكاريه.
لفهم معضلة هذه الحدسية سوف نطرح السؤال التالي، هل من الممكن أن نستدل على كروية الأرض عن طريق وضع نقطة معينة على سطح الأرض وانطلقنا منها للسير بطريقة مستقيمة ومستمرة إلى أن نصل إلى نفس النقطة التي انطلقنا منها، فإذا قلنا إن الأرض مثلاً على شكل قطعة الدونت أي أنها عبارة عن حلقة مستديرة ومفرغة في الوسط، فإننا سوف نصل إلى نفس النقطة التي انطلقنا منها أيضاً.
إذا قمنا بجلب حبل طويل جداً معنا أثناء الدوران حول الأرض، ومع استمرارنا في المشي نمد معاً الحبل إلى أن نصل إلى نفس نقطة الانطلاق وقمنا بربط طرفي الحبل ببعضهم البعض أي أننا قد قمنا بتدوير الحبل حول كوكب الأرض، والآن إذا قمنا بشد الحبل باستمرار، فإذا استطعنا سحب الحبل كله وجمعناه مرة أخري في النقطة التي نقف عليها فهذا يعني أننا نقف على جسم كروي الشكل.
إذا كنا نقف على جسم على شكل دونت فإن الحبل لن ينسحب أبداً، ولهذا علينا الانتباه من شيء ما أن سطح الكرة بحد ذاته هو سطح ثنائي البعد، ولكن الآن إذا كان الفضاء مكون من أربع أبعاد مكانية أو إذا كان سطح الكرة ثلاثي الأبعاد، كيف يمكننا أن نتأكد من أننا يمكننا أن نجمع الحبل بنفس الطريقة، صحيح أننا من الصعب أن نتخيل أشكال في الفراغات من البعد (ن)، ولكن حدس بوانكاريه يخبرنا أن هذه النتيجة صحيحة.
عندما يقتنع العالم بأن هناك فرضية ما صحيحة ولكنه لا يستطيع أن يبرهن فهو ينشرها على أنها حدسية ما ويترك المجال لباقي العلماء لعلهم يمكنهم إثبات صحتها أو خطئها، ولقد قام بالفعل العالم فريدمان في عام 1982 بحل هذا اللغز في البعد الرابع، وقام العالم زيمان سنة 1961 بحلها في البعد الخامس، وقام ستالينغ سنة 1962 بحلها في البعد السادس، وقام سمال سنة 1961 بحلها في البعد السابع.
لم يتبقى سوى أن يتم حل الحدسية في البعد الثالث، وبقي البعد الثالث غير قادرين على حله، إلى أن قام أحد العلماء سنة 2002 بحلها، وهو العالم الروسي في علم الرياضيات، العالم غريغوري بيريلمان.
علم الطوبولوجيا
يعد علم الطوبولوجيا أو علم البُني الهندسية فرع من أهم فروع علم الرياضيات، حيث يهتم هذا العلم بدراسة الخصائص المختلفة للأشكال عندما تطرأ عليهم تغيرات مستمرة لا تغير من محتواها ولكن هذه التغيرات تعيد تشكيلها، فمثلاً إذا كان لدينا حبل طوله متر فإنه من الممكن أن يلتوي إلى اليسار أو إلى اليمين، ولكن لن تتغير مكونات الحبل الداخلية أو طوله.
إذا قلنا إن هناك جسمين متساويان طوبولوجياً فهذا الأمر يعني أننا إذا قمنا بتشكيل الجسم الأول بطريقة معينة سنحصل على الجسم الثاني، وإذا قمنا بإحضار قطعة من الصلصال، وقمنا بتشكيلها على شكل كأس ماء، فهذه العملية تسمى التشكيل الطوبولوجي، وهناك العديد من الأمثلة على الأجسام الطوبولوجية، فمثلاً الدائرة والمستقيم هما جسمان طوبولوجيان يتكونان من بعد واحد، والدائرة والمربع من بعدين والكرة والمكعب من ثلاث أبعاد.
الباحث في علم الطوبولوجيا يختص بدراسة الخصائص الطوبولوجية للأجسام المختلفة عند تحويلها من شكل رياضي معين إلى شكل رياضي آخر.
حدسية بوانكاريه
بدأت قصة بوانكاريه في عام 1904، عندما قدمها عالم في علم الرياضيات يطلق عليه أبو علم الطوبولوجيا الفرنسي هنري بوانكاريه.
لفهم معضلة هذه الحدسية سوف نطرح السؤال التالي، هل من الممكن أن نستدل على كروية الأرض عن طريق وضع نقطة معينة على سطح الأرض وانطلقنا منها للسير بطريقة مستقيمة ومستمرة إلى أن نصل إلى نفس النقطة التي انطلقنا منها، فإذا قلنا إن الأرض مثلاً على شكل قطعة الدونت أي أنها عبارة عن حلقة مستديرة ومفرغة في الوسط، فإننا سوف نصل إلى نفس النقطة التي انطلقنا منها أيضاً.
إذا قمنا بجلب حبل طويل جداً معنا أثناء الدوران حول الأرض، ومع استمرارنا في المشي نمد معاً الحبل إلى أن نصل إلى نفس نقطة الانطلاق وقمنا بربط طرفي الحبل ببعضهم البعض أي أننا قد قمنا بتدوير الحبل حول كوكب الأرض، والآن إذا قمنا بشد الحبل باستمرار، فإذا استطعنا سحب الحبل كله وجمعناه مرة أخري في النقطة التي نقف عليها فهذا يعني أننا نقف على جسم كروي الشكل.
إذا كنا نقف على جسم على شكل دونت فإن الحبل لن ينسحب أبداً، ولهذا علينا الانتباه من شيء ما أن سطح الكرة بحد ذاته هو سطح ثنائي البعد، ولكن الآن إذا كان الفضاء مكون من أربع أبعاد مكانية أو إذا كان سطح الكرة ثلاثي الأبعاد، كيف يمكننا أن نتأكد من أننا يمكننا أن نجمع الحبل بنفس الطريقة، صحيح أننا من الصعب أن نتخيل أشكال في الفراغات من البعد (ن)، ولكن حدس بوانكاريه يخبرنا أن هذه النتيجة صحيحة.
عندما يقتنع العالم بأن هناك فرضية ما صحيحة ولكنه لا يستطيع أن يبرهن فهو ينشرها على أنها حدسية ما ويترك المجال لباقي العلماء لعلهم يمكنهم إثبات صحتها أو خطئها، ولقد قام بالفعل العالم فريدمان في عام 1982 بحل هذا اللغز في البعد الرابع، وقام العالم زيمان سنة 1961 بحلها في البعد الخامس، وقام ستالينغ سنة 1962 بحلها في البعد السادس، وقام سمال سنة 1961 بحلها في البعد السابع.
لم يتبقى سوى أن يتم حل الحدسية في البعد الثالث، وبقي البعد الثالث غير قادرين على حله، إلى أن قام أحد العلماء سنة 2002 بحلها، وهو العالم الروسي في علم الرياضيات، العالم غريغوري بيريلمان.
