تعريف المثلث
أنواع المثلثات وخصائصها
زوايا المثلثات المشهورة
خصائص المثلثات
طريقة حساب ارتفاع المثلث
نظرية فيثاغورس
قانون نظرية فيثاغورس
حساب زوايا المثلثات المشهورة
الزوايا الخارجة عن المثلث
حساب المثلثات
علم حساب المثلثات و المثلث قائم الزاوية
المتطابقات المثلثية الأساسية
كيف يتم قياس زوايا المثلثات المشهورة
حساب زوايا المثلثات المشهورة
حجم المثلث
معرفة جوانب المثلث إذا كنت أعرف جميع الزوايا
يحتوي أي مثلث على ثلاث زوايا، حيث يساوي مجموع زوايا المثلثات المشهورة على 180 درجة، مهما اختلف نوع المثلث، يتم تصنيف المثلث حسب قياس زواياه الداخلية، وهناك ثلاثة أنواع من المثلثات وهي المثلث قائم الزاوية، المثلث متساوي الساقين، المثلث متساوي الأضلاع.
تعريف المثلث
المثلثات Triangles هي أشكال ذات ثلاثة جوانب، ويتكون من ثلاث قطع مستقيمة، تشكل أضلاع المثلث تتقاطع في نهايتها مكونة الرؤوس أو الزوايا، يعتمد نوع المثلث على طول ضلعه وحجم الزاوية، وهناك ثلاثة أنواع من المثلث بناء على طول الضلع وهما:
مثلث متساوي الأضلاع.
مثلث متساوي الساقين.
مثلث قائم الزاوية.
ويسمى المثلث أيضا بناء على زوايا المثلثات المشهورة
إذا كانت جميع الزوايا أقل من 90 درجة يسمى حاد.
إذا كانت إحدى زواياه 90 درجة يسمى قائم.
إذا كانت زاوية واحدة أكثر من 90 درجة يسمى المثلث منفرجة.
أنواع المثلثات وخصائصها
أنواع المثلثات هي:
المثلث المتساوي الأضلاع : حيث يتساوى كل أضلاع المثلث في الطول، وجميع الزوايا لها نفس القياس وهي 60 درجة.
المثلث المتساوي الساقين : ويتميز هذا المثلث انه له وجهين متساويين في الطول.
مثلث سكالين : وهذا المثلث يختلف أطوال أضلاعه الثلاثة عن بعضهما فكل ضلع له طول مختلف.
زوايا المثلثات المشهورة
مثلث قائم الزاوية : يحتوي هذا المثلث على زاوية واحدة 90 درجة، و زاويتين حادتين.
المثلث الحاد :يتكون هذا المثلث من ثلاث زوايا حادة، والزاوية الحادة هي التي أقل من 90 درجة.
المثلث المنفرج : يتكون هذا المثلث من زاويتين حادتين و زاوية منفرجة أي أكثر من 90 درجة.
خصائص المثلثات
هناك أمور مشتركة بين المثلثات الثلاثة مثل القاعدة والارتفاع والمساحة:
القاعدة Base : تشير قاعدة المثلث إلى الجانب السفلي من أي مثلث، حيث يمكن أن يكون أي جانب من جوانب المثلث قاعدة.
الارتفاع Altitude : ارتفاع المثلث هو الخط الواقع عموديا على قاعدة المثلث، ويمر عبر الزاوية المقابلة القاعدة، طول الارتفاع يحسب من القاعدة إلى الزاوية المقابلة، وبما أن هناك ثلاث قواعد محتملة للمثلث فإن هناك ثلاث ارتفاعات محتملة له أيضا.
المساحة : هي مقدار المساحة داخل المثلث.
طريقة حساب ارتفاع المثلث
هناك العديد من الطرق لحساب ارتفاع المثلث ومنها:
باستخدام قانون مساحة المثلث
يمكن حساب ارتفاع المثلث إذا علم مساحته وطول قاعدته، وذلك عن طريق قانون مساحة المثلث، ويمكن تطبيق هذه الطريقة على جميع أنواع المثلثات:
قانون مساحة المثلث=
½ القاعدة × الارتفاع
مثال:
إذا كان هناك مثلث مساحته 30 سم مربع وطول قاعدته 3 سم فإن ارتفاعه هو
2×30÷ 3=
60÷3 = 20 سم٢
نظرية فيثاغورس
هي واحدة من أقدم النظريات المعروفة، وتم تسميتها بهذا الإسم نسبة إلى عالم الرياضيات والفيلسوف اليوناني فيثاغورس، وهي من أشهر النظريات في علم الرياضيات، يتم استخدام نظرية فيثاغورس في مجموعة كبيرة من المجالات العملية مثل: حساب زوايا المثلثات المشهورة
البناء، الملاحة، الهندسة وعلوم الرياضيات.
قانون نظرية فيثاغورس
مجموع مربعي طولي ضلعي القائمة، وهما الضلعي الأقصر في المثلث قائم الزاوية يساوي مربع طول الوتر، وهو الضلع الاطول في المثلث.
حساب زوايا المثلثات المشهورة
هناك طرق عديدة يمكن من خلالها قياس زوايا المثلث منها
إذا علمت قيمة زاويتين في المثلث: يمكن معرفة زاوية المثلث المجهولة عن طريق جمع الزاويتين وطرحهم من 180.
المثلث متساوي الأضلاع: يتساوى كل زوايا المثلث المتساوي الأضلاع، حيث يكون قياس كل زاوية 60 درجة، المثلث المتساوي الأضلاع هو أيضا متساوي الزوايا.
إذا علمت قيمة زاوية واحدة: في حالة معرفة قيمة زاوية واحدة فهناك احتمالين: إما أن يكون المثلث متساوي الساقين، أو مثلث قائم الزاوية،
ففي حالة المثلث القائم الزاوية فإن إحدى زواياه قائمة أي 90 درجة وبذلك نقوم بجمع الزاوية المعلومة مع 90 ويتم طرح الناتج من 180 للحصول على الزاوية المجهولة.
في حالة المثلث المتساوي الساقين، فإن زوايا القاعدة متساوية وعليه مجموع زوايا المثلث متساوي الساقين =
2س+ص= 180
الزوايا الخارجة عن المثلث
يمكن الحصول على زوايا خارجة عن المثلث عن طريق رسم شعاع أو خط مستقيم ممتد من أحد الأضلاع، لتكون الزاوية الخارجية هي الزاوية المحصورة بين هذا الامتداد و ضلع المثلث المجاور لها.
حساب المثلثات
علم حساب المثلثات Trigonometry هو فرع من فروع الرياضيات، ويدرس حساب المثلثات العلاقة بين أضلاع المثلثات و زوايا المثلثات المشهورة، نستطيع تطبيق علم حساب المثلثات على جميع الأشكال الهندسية، حيث يمكن تقسيم أي شكل مستقيم إلى مجموعة من المثلثات، ويتم تطبيق قوانين علم المثلثات عليه.
ويهتم علم حساب المثلثات بكل ما يخص المثلثات مثل: إيجاد قياس الزوايا والأضلاع الغير معلومة، ويهتم أيضا بالعلوم والهندسة والألعاب الإلكترونية.
علم حساب المثلثات و المثلث قائم الزاوية
يعد المثلث القائم الزاوية من أهم أنواع المثلثات في علم حساب المثلثات، و يرمز للزاوية القائمة ذات القياس 90 بمربع صغير على الزاوية، بينما يرمز إحدى الزاويتين الأخيرتين بالرمز س، وتصنف الأضلاع الثلاثة للمثلث كالآتي:
الضلع المجاور: وهو الضلع المجاور أو القريب من الزاوية س.
الضلع المقابل: وهو الضلع الذي يقابل الزاوية س.
الوتر: هو الضلع الاطول في المثلث.
المتطابقات المثلثية الأساسية
من أهم النسب المثلثية للمثلث القائم الزاوية في حساب المثلثات:
الجيب أو (جا) sine:
جا س= الضلع المقابل للزاوية س÷ وتر المثلث.
جيب التمام (جتا) cosine:
جتا س= الضلع المجاور للزاوية س÷ وتر المثلث.
الظل (ظا) tangent:
ظا س= الضلع المقابل للزاوية س÷ الضلع المجاور للزاوية
جا س÷ جتا س
كيف يتم قياس زوايا المثلثات المشهورة
يمكن قياس زوايا المثلثات المشهورة عن طريق استخدام المنقلة، أو مكتشف الزوايا الرقمي، ويمكن استخدام مكتشف الزوايا لقياس الأخشاب المقطوعة، أو كمقياس شطب لنقل الزوايا عندما يكون من الضروري قطع المزيد من القطع الخشبية.
لكن هذا ليس مناسبا كأداة رسم تقني، لأن المحور لن يجلس مسطحا على الورق بخلاف المنقلة، بالإضافة إلى أنها آلة مصنوعة من الفولاذ المقاوم للصدأ قد تكون آلة حادة غير مناسبة لاستخدام الأطفال.
حساب زوايا المثلثات المشهورة
من أسهل الطرق الرياضية، حيث هناك العديد من الطرق المختلفة لحساب زوايا المثلثات ولعل أهمها نظرية فيثاغورث الشهيرة في علم الرياضيات، حيث يكون مجموع قياسات زوايا المثلث 180 درجة، ويمكن أن يسمى المثلث عن طريق أضلاعه أو قيمة الزوايا الداخلية.
حجم المثلث
بما أن المثلث هو مستوى وجسم ثنائي الأبعاد، فمن المستحيل اكتشاف حجمه، المثلث مسطح وبالتالي ليس له حجم.
معرفة جوانب المثلث إذا كنت أعرف جميع الزوايا
إذا كنت تعرف جانبا واحدا على الأقل، وإلا فلن تتمكن من تحديد أطوال المثلث، لا يوجد مثلث فريد له كل الزوايا متشابهة، ولكن تتشابه المثلثات ذات الزوايا نفسها ولكن نسبة الأضلاع إلى مثلثين متساويي.
