طول القوس ومساحة القطاع الدائري
طول القوس فى الدائرة ( ل ) = هـ × 2 ط نق / 360
مثال :-
أوجد طول القوس من دائرة نصف قطرها 10 سم , والزاوية المكزية المقابلة للقوس = 45 درجة
الحل :-
ل = هـ × 2 ط نق / 360
ل = = 45 / 360 × 2 × 22/ 7 × 10
اذا ل = 7.85 سم
مساحة القطاع الدائري = هـ / 360 × ط نق^2
مثال :-
أوجد مساحة قطاع دائرى الذى يقابل زاوية مركزية 120 درجة فى دائرة نصف قطرها 7 سم ( ط = 22 /7 )
الحل :-
مساحة القطاع = هـ / 360 × ط نق^2
= 120 / 360 × 22 / 7 × 7 × 7
اذا مساحة القطاع = 154 / 3 سم ^2 , أو = تقريبا 51.33 سم ^2
التمرين الأول :-
معتبرا ط = 22/ 7 . أوجد قياس الزاوية المركزية التي تقابل قوس القطاع الدائري الذي طول
نصف قطره 12 سم ومساحته 88 سم^2
الحل :-
مساحة القطاع = هـ / 360 × ط نق^2
88 = هـ / 360 × 22 / 7 × 12 × 12
88 = هـ × 22 × 6 / 15
هـ = 88 × 15 × 7 / 22 × 6
هـ = 70 درجة
التمرين الثاني :-
قطاع دائري طول قوسه 66 سم وقياس زاويته المركزية 240 درجة , أوجد
طول نصف قطر دائرته ( ط = 22 / 7 )
الحل :-
طول القوس ل = هـ / 360 × 2 ط نق
66 = 240 / 360 × 44 / 7 × نق
نق = 66 × 3 / 7 / 2 / 44 = 15.75 سم تقريبا 16 سم
التمرين الثالث :-
قطاع دائري طول نصف قطر دائرته 7 سم وزاويته المركزية 120 درجة
احسب مساحته ؟
الحل :-
مساحة القطاع = هـ / 360 × ط نق^2
المساحة = 120 / 360 × 22/ 7 × 7 × 7
المساحة = 1/ 3 × 22 × 7 = 22 × 7 / 3 = 154 / 3 = 51.33 سم
التمرين الرابع :-
قطاع دائري مساحته 2310 سم^2 وقياس زاويته المركزية 150 درجة
احسب طول نصف قطر القطاع ؟
الحل :-
مساحة القطاع = س / 360 × ط نق^2
2310 = 150 / 360 × 22/ 7 × نق^2
2310 = 15 × 22 × نق^2 / 36 × 7
نق^2 = 2310 × 36 × 7 / 15 × 22
نق^2 = 105 × 12 × 7 / 5
نق^2 = 21 × 12 × 7
نق^2 = 1764
نق = 42 سم
التمرين الخامس :-
قطاع دائري محيطه 75 سم وطول قطر دائرته 60 سم
فكم طول القوس ؟
الحل :-
محيط القطاع الدائري = طول القوس + طول نصفي القطر أو ( طول القطر )
اذا
محيط القطاع = طول القوس + طول القطر
طول القوس = المحيط - طول القطر
طول القوس = 75 - 60 = 15 سم
التمرين السادس :-
الممسحة على الزجاج الأمامي لسيارة لعبة كهربية تمسح بزاوية 140 درجة مكونة
قطاع دائري مساحته 396 سم^2 . احسب طول نصف القطر للقطاع
الحل :-
مساحة القطاع / ط نق^2 = 140 / 360
396 / ط نق^2 = 140 / 360
نق^2 = 396 × 360 / 140 × 22 / 7
نق^2 = 324
نق = الجذر التربيعي ( 324 ) = 18 سم
التمرين السابع :-
مساحة قطاع دائري طول نصف قطره 18 سم هي 198 سم^2
احسب طول القوس في القطاع ؟
الحل :-
طول القوس / 2 ط نق = مساحة القطاع الدائري / ط نق^2
طول القوس / 2 ط × 18 = 198 / ط × 18 × 18
طول القوس = 198 × 2 ط × 18 / ط × 18 × 18
طول القوس = 22 سم
التمرين الثامن :-
أ ب وتر في دائرة مركزها و , ونصف قطرها - سم , فإذا كانت <أ و ب = 40 ْ
احسب
1- طول القوس
2- مساحة القطاع الدائري
مقربا الإجابة لأقرب ثلاثة أرقام معنوية
الحل :-
الزاوية المركزية = 40 ْ ....... نصف القطر = 6 سم
طول القوس = سْ / 360 ْ × 2 ط نق
طول القوس = 40 / 360 × 2 × 3.14 × 6
طول القوس = 1 × 2 × 3.14 × 6 / 9 = 6.28 × 2 / 3 = 12.56 / 3
طول القوس = 12.56 / 3 = 4.1866 = تقريبا 4.19 سم
مساحة القطاع = 40/ 360 × 3.14 × 6 × 6
مساحة القطاع = 4 × 3.14 = 12.56 = تقريبا 12.6 سم^2
التمرين التاسع :-
قطاع في دائرة طول نصف قطرها 9 سم مساحته 99 سم^2 , أوجد الزاوية
المقابلة عند مركز الدائرة
مساحة القطاع = س / 360 × ط نق^2
99 = س / 360 × 22 / 7 × 9 × 9
س = 99 / 9 × 9 × 7 / 22 × 360 = 140 درجة
التمرين العاشر :-
قطاع دائري زاويته المركزية 315 ْ ومساحته 176 سم^2 أوجد نصف القطر ؟
الحل :-
مساحة القطاع = س ْ / 360 ْ × ط × نق^2
176 = 315 / 360 × 22 / 7 × نق^2
نق^2 = 176 × 360 × 7 / 315 × 22
نق ^2 = 64 ..................... نق = 8 سم
التمرين الحادي عشر :-
قوس من دائرة طوله 16.5 سم يقابل زاوية 135 ْ
أوجد طول نصف قطر الدائرة ؟
الحل :-
طول القوس = س ْ / 360 ْ × 2 ط نق
16.5 = 135 / 360 × 2 ×22 / 7 × نق
نق = 16.5 × 7 × 360 / 135 × 2 × 22
نق = 0.1 × 7 × 10 = 7 سم
التمرين الثاني عشر :-
مساحة قطاع دائري طول نصف قطره 18 سم هي 198 سم^2
احسب طول القوس في القطاع ؟
الحل :-
طول القوس / 2 ط نق = مساحة القطاع الدائري / ط نق^2
طول القوس / 2 × ط × 18 = 198 / ط × 18 × 18
طول القوس = 198 / ط × 18 × 18 × 2 ط × 18
طول القوس = 22 سم
التمرين الثالث عشر :-
أرادت سلوى عمل مروحة ورقية جميلة على شكل قوس طوله 44 سم
تقابله زاوية مركزية 140 درجة . فما طول نصف قطر المروحة ؟
الحل :-
طول القوس = س ْ / 360 ْ × 2 ط نق
طول القوس / 2 ط نق = س ْ / 360 ْ
44 / 2 ط نق = 140 ْ / 360 ْ
نق = 360 ْ / 140 ْ × 44 × 7 / 22 × 1 / 2 = 18 سم
التمرين الرابع عشر :-
قطاع دائري طول نصف قطره 21 سم ومساحته 231 سم^2
ما قيمة الزاوية المركزية ؟
الحل :-
مساحة القطاع = سْ / 360 ْ × ط نق^2
231 = سْ / 360 ْ × 22 / 7 × 21 × 21
231 = سْ × 22 × 3 × 21 / 360
سْ = 231 × 360 / 22 × 3 × 21
سْ = 77 × 360 / 22 × 21
سْ = 11 × 360 / 22 × 3 = 360 / 2 × 3 = 60 ْ
التمرين الخامس عشر :-
قطاع دائري طول نصف قطر دائرته 10 سم وطول قوسه 10 سم
فما مساحته ؟
الحل :-
مساحة القطاع = سْ / 360 ْ × ط نق^2
مساحة القطاع الدائري / ط نق^2 = طول القوس / 2 ط نق
مساحة القطاع / ط × 10 × 10 = 10 / 2 ط × 10
مساحة القطاع = 10 / 2 ط × 10 × ط × 10 × 10
مساحة القطاع = 10 × 10 / 2 = 50 سم^2
التمرين السادس عشر :-
ما الزاوية المركزية التي تقابل قوسا من دائرة نصف قطرها 21 سم وطوله 22 سم
الحل :-
طول القوس = س ْ / 360 ْ × 2 ط نق
س الزاوية المركزية = طول القوس × 360 / 2 ط نق
الزاوية المركزية = 22 × 360 / 2 × 21 ×22 / 7
س ْ = 360 × 22 / 2 × 22 × 3
س ْ = 360 / 6 = 60 ْ
التمرين السابع عشر :-
معتبرا ط = 22 / 7 . احسب مساحة المنطقة المغطأة بواسطة عقرب
الدقائق ساعة طوله 21 سم خلال 20 دقيقة ؟
الحل :-
20 دقيقة تعادل ثلث ساعة = ثلث الدائرة يقابل زاوية مركزية مقدارها 120 درجة
مساحة القطاع = 120 / 360 × 22 / 7 × 21 / 21 = 1× 22 × 3 × 7 = 462 سم ^2
مساحة القطاع = 462 سم ^2
التمرين الثامن عشر :-
كعكة أسطوانية الشكل قطعت شريحة منها . فإذا كان مقطع الشريحة هو قطاع دائري
نصف قطره 12 سم وقياس زاويته المركزية 40 ْ
احسب مساحة القطاع ؟
الحل :-
مساحة القطاع = سْ / 360 ْ × ط نق^2
المســـــــــاحة = 40 / 360 × 3.14 × 12 × 12
المســــــــــاحة = 1 / 9 × 3.14 × 12 × 12 = 3.14 × 4 × 4 = 50.24 سم ^2
التمرين التاسع عشر :-
أوجد مساحة 1 / 8 الدائرة اذا كان نصف قطرها 7 سم ( ط = 22 / 7 )
الحل :-
بما أن 1 / 8 الدائرة يقابل زاوية مركزية مقدارها 45 ْ
مساحة القطاع الدائري / ط نق ^2 = 45 ْ / 360 ْ
مساحة القطاع = 45 ْ / 360 ْ × 22 / 7 × 7 × 7
اذا مساحة القطاع = 77 / 4 = 19.25 سم ^2
التمرين العشرون :-
احسب طول القوس ومحيط القطاع الدائري الذي طول نصف قطره 10 سم
وزاويته المركزية 63 ْ
الحل :-
طول القوس = س ْ / 360 ْ × 2 ط نق
طول القوس = 63 ْ / 360 ْ × 2 × 22 / 7 × 10
طول القوس = 11 سم
المحيط = 11 + 10 + 10 = 31 سم
التمرين الواحد والعشرون :-
قطاع دائري مساحة سطحه 2310 سم^2 وقياس زاويته المركزية 150 ْ
احسب طول نصف قطر القطاع
الحل :-
مساحة القطاع / ط نق^2 = س ْ / 360 ْ
2310 / 22 / 7 × نق^2 = 150 / 360
2310 × 7 / 22 نق^2 = 15 / 36
نق^2 = 2310 × 7 × 36 / 22 × 15
نق^2 = 154 × 7 × 18 / 11
نق ^2 = 14 × 7 × 18 = 14 × 126
نق^2 = 1764 ................ نق = 42 سم
طول القوس فى الدائرة ( ل ) = هـ × 2 ط نق / 360
مثال :-
أوجد طول القوس من دائرة نصف قطرها 10 سم , والزاوية المكزية المقابلة للقوس = 45 درجة
الحل :-
ل = هـ × 2 ط نق / 360
ل = = 45 / 360 × 2 × 22/ 7 × 10
اذا ل = 7.85 سم
مساحة القطاع الدائري = هـ / 360 × ط نق^2
مثال :-
أوجد مساحة قطاع دائرى الذى يقابل زاوية مركزية 120 درجة فى دائرة نصف قطرها 7 سم ( ط = 22 /7 )
الحل :-
مساحة القطاع = هـ / 360 × ط نق^2
= 120 / 360 × 22 / 7 × 7 × 7
اذا مساحة القطاع = 154 / 3 سم ^2 , أو = تقريبا 51.33 سم ^2
التمرين الأول :-
معتبرا ط = 22/ 7 . أوجد قياس الزاوية المركزية التي تقابل قوس القطاع الدائري الذي طول
نصف قطره 12 سم ومساحته 88 سم^2
الحل :-
مساحة القطاع = هـ / 360 × ط نق^2
88 = هـ / 360 × 22 / 7 × 12 × 12
88 = هـ × 22 × 6 / 15
هـ = 88 × 15 × 7 / 22 × 6
هـ = 70 درجة
التمرين الثاني :-
قطاع دائري طول قوسه 66 سم وقياس زاويته المركزية 240 درجة , أوجد
طول نصف قطر دائرته ( ط = 22 / 7 )
الحل :-
طول القوس ل = هـ / 360 × 2 ط نق
66 = 240 / 360 × 44 / 7 × نق
نق = 66 × 3 / 7 / 2 / 44 = 15.75 سم تقريبا 16 سم
التمرين الثالث :-
قطاع دائري طول نصف قطر دائرته 7 سم وزاويته المركزية 120 درجة
احسب مساحته ؟
الحل :-
مساحة القطاع = هـ / 360 × ط نق^2
المساحة = 120 / 360 × 22/ 7 × 7 × 7
المساحة = 1/ 3 × 22 × 7 = 22 × 7 / 3 = 154 / 3 = 51.33 سم
التمرين الرابع :-
قطاع دائري مساحته 2310 سم^2 وقياس زاويته المركزية 150 درجة
احسب طول نصف قطر القطاع ؟
الحل :-
مساحة القطاع = س / 360 × ط نق^2
2310 = 150 / 360 × 22/ 7 × نق^2
2310 = 15 × 22 × نق^2 / 36 × 7
نق^2 = 2310 × 36 × 7 / 15 × 22
نق^2 = 105 × 12 × 7 / 5
نق^2 = 21 × 12 × 7
نق^2 = 1764
نق = 42 سم
التمرين الخامس :-
قطاع دائري محيطه 75 سم وطول قطر دائرته 60 سم
فكم طول القوس ؟
الحل :-
محيط القطاع الدائري = طول القوس + طول نصفي القطر أو ( طول القطر )
اذا
محيط القطاع = طول القوس + طول القطر
طول القوس = المحيط - طول القطر
طول القوس = 75 - 60 = 15 سم
التمرين السادس :-
الممسحة على الزجاج الأمامي لسيارة لعبة كهربية تمسح بزاوية 140 درجة مكونة
قطاع دائري مساحته 396 سم^2 . احسب طول نصف القطر للقطاع
الحل :-
مساحة القطاع / ط نق^2 = 140 / 360
396 / ط نق^2 = 140 / 360
نق^2 = 396 × 360 / 140 × 22 / 7
نق^2 = 324
نق = الجذر التربيعي ( 324 ) = 18 سم
التمرين السابع :-
مساحة قطاع دائري طول نصف قطره 18 سم هي 198 سم^2
احسب طول القوس في القطاع ؟
الحل :-
طول القوس / 2 ط نق = مساحة القطاع الدائري / ط نق^2
طول القوس / 2 ط × 18 = 198 / ط × 18 × 18
طول القوس = 198 × 2 ط × 18 / ط × 18 × 18
طول القوس = 22 سم
التمرين الثامن :-
أ ب وتر في دائرة مركزها و , ونصف قطرها - سم , فإذا كانت <أ و ب = 40 ْ
احسب
1- طول القوس
2- مساحة القطاع الدائري
مقربا الإجابة لأقرب ثلاثة أرقام معنوية
الحل :-
الزاوية المركزية = 40 ْ ....... نصف القطر = 6 سم
طول القوس = سْ / 360 ْ × 2 ط نق
طول القوس = 40 / 360 × 2 × 3.14 × 6
طول القوس = 1 × 2 × 3.14 × 6 / 9 = 6.28 × 2 / 3 = 12.56 / 3
طول القوس = 12.56 / 3 = 4.1866 = تقريبا 4.19 سم
مساحة القطاع = 40/ 360 × 3.14 × 6 × 6
مساحة القطاع = 4 × 3.14 = 12.56 = تقريبا 12.6 سم^2
التمرين التاسع :-
قطاع في دائرة طول نصف قطرها 9 سم مساحته 99 سم^2 , أوجد الزاوية
المقابلة عند مركز الدائرة
مساحة القطاع = س / 360 × ط نق^2
99 = س / 360 × 22 / 7 × 9 × 9
س = 99 / 9 × 9 × 7 / 22 × 360 = 140 درجة
التمرين العاشر :-
قطاع دائري زاويته المركزية 315 ْ ومساحته 176 سم^2 أوجد نصف القطر ؟
الحل :-
مساحة القطاع = س ْ / 360 ْ × ط × نق^2
176 = 315 / 360 × 22 / 7 × نق^2
نق^2 = 176 × 360 × 7 / 315 × 22
نق ^2 = 64 ..................... نق = 8 سم
التمرين الحادي عشر :-
قوس من دائرة طوله 16.5 سم يقابل زاوية 135 ْ
أوجد طول نصف قطر الدائرة ؟
الحل :-
طول القوس = س ْ / 360 ْ × 2 ط نق
16.5 = 135 / 360 × 2 ×22 / 7 × نق
نق = 16.5 × 7 × 360 / 135 × 2 × 22
نق = 0.1 × 7 × 10 = 7 سم
التمرين الثاني عشر :-
مساحة قطاع دائري طول نصف قطره 18 سم هي 198 سم^2
احسب طول القوس في القطاع ؟
الحل :-
طول القوس / 2 ط نق = مساحة القطاع الدائري / ط نق^2
طول القوس / 2 × ط × 18 = 198 / ط × 18 × 18
طول القوس = 198 / ط × 18 × 18 × 2 ط × 18
طول القوس = 22 سم
التمرين الثالث عشر :-
أرادت سلوى عمل مروحة ورقية جميلة على شكل قوس طوله 44 سم
تقابله زاوية مركزية 140 درجة . فما طول نصف قطر المروحة ؟
الحل :-
طول القوس = س ْ / 360 ْ × 2 ط نق
طول القوس / 2 ط نق = س ْ / 360 ْ
44 / 2 ط نق = 140 ْ / 360 ْ
نق = 360 ْ / 140 ْ × 44 × 7 / 22 × 1 / 2 = 18 سم
التمرين الرابع عشر :-
قطاع دائري طول نصف قطره 21 سم ومساحته 231 سم^2
ما قيمة الزاوية المركزية ؟
الحل :-
مساحة القطاع = سْ / 360 ْ × ط نق^2
231 = سْ / 360 ْ × 22 / 7 × 21 × 21
231 = سْ × 22 × 3 × 21 / 360
سْ = 231 × 360 / 22 × 3 × 21
سْ = 77 × 360 / 22 × 21
سْ = 11 × 360 / 22 × 3 = 360 / 2 × 3 = 60 ْ
التمرين الخامس عشر :-
قطاع دائري طول نصف قطر دائرته 10 سم وطول قوسه 10 سم
فما مساحته ؟
الحل :-
مساحة القطاع = سْ / 360 ْ × ط نق^2
مساحة القطاع الدائري / ط نق^2 = طول القوس / 2 ط نق
مساحة القطاع / ط × 10 × 10 = 10 / 2 ط × 10
مساحة القطاع = 10 / 2 ط × 10 × ط × 10 × 10
مساحة القطاع = 10 × 10 / 2 = 50 سم^2
التمرين السادس عشر :-
ما الزاوية المركزية التي تقابل قوسا من دائرة نصف قطرها 21 سم وطوله 22 سم
الحل :-
طول القوس = س ْ / 360 ْ × 2 ط نق
س الزاوية المركزية = طول القوس × 360 / 2 ط نق
الزاوية المركزية = 22 × 360 / 2 × 21 ×22 / 7
س ْ = 360 × 22 / 2 × 22 × 3
س ْ = 360 / 6 = 60 ْ
التمرين السابع عشر :-
معتبرا ط = 22 / 7 . احسب مساحة المنطقة المغطأة بواسطة عقرب
الدقائق ساعة طوله 21 سم خلال 20 دقيقة ؟
الحل :-
20 دقيقة تعادل ثلث ساعة = ثلث الدائرة يقابل زاوية مركزية مقدارها 120 درجة
مساحة القطاع = 120 / 360 × 22 / 7 × 21 / 21 = 1× 22 × 3 × 7 = 462 سم ^2
مساحة القطاع = 462 سم ^2
التمرين الثامن عشر :-
كعكة أسطوانية الشكل قطعت شريحة منها . فإذا كان مقطع الشريحة هو قطاع دائري
نصف قطره 12 سم وقياس زاويته المركزية 40 ْ
احسب مساحة القطاع ؟
الحل :-
مساحة القطاع = سْ / 360 ْ × ط نق^2
المســـــــــاحة = 40 / 360 × 3.14 × 12 × 12
المســــــــــاحة = 1 / 9 × 3.14 × 12 × 12 = 3.14 × 4 × 4 = 50.24 سم ^2
التمرين التاسع عشر :-
أوجد مساحة 1 / 8 الدائرة اذا كان نصف قطرها 7 سم ( ط = 22 / 7 )
الحل :-
بما أن 1 / 8 الدائرة يقابل زاوية مركزية مقدارها 45 ْ
مساحة القطاع الدائري / ط نق ^2 = 45 ْ / 360 ْ
مساحة القطاع = 45 ْ / 360 ْ × 22 / 7 × 7 × 7
اذا مساحة القطاع = 77 / 4 = 19.25 سم ^2
التمرين العشرون :-
احسب طول القوس ومحيط القطاع الدائري الذي طول نصف قطره 10 سم
وزاويته المركزية 63 ْ
الحل :-
طول القوس = س ْ / 360 ْ × 2 ط نق
طول القوس = 63 ْ / 360 ْ × 2 × 22 / 7 × 10
طول القوس = 11 سم
المحيط = 11 + 10 + 10 = 31 سم
التمرين الواحد والعشرون :-
قطاع دائري مساحة سطحه 2310 سم^2 وقياس زاويته المركزية 150 ْ
احسب طول نصف قطر القطاع
الحل :-
مساحة القطاع / ط نق^2 = س ْ / 360 ْ
2310 / 22 / 7 × نق^2 = 150 / 360
2310 × 7 / 22 نق^2 = 15 / 36
نق^2 = 2310 × 7 × 36 / 22 × 15
نق^2 = 154 × 7 × 18 / 11
نق ^2 = 14 × 7 × 18 = 14 × 126
نق^2 = 1764 ................ نق = 42 سم
