يعتبر المثلث أحد الأشكال الهندسية، ويكون من ثلاثة أضلاع وثلاثة زوايا، ويختلف قياس الزوايا في المثلث حسب شكل المثلث، لكن مجموع زوايا المثلث كاملة يكون 180 درجة، ويصنف أي مثلث إلى نوعين بحسب الأضلاع، وحسب الزوايا.
أنواع المثلثات
يمكن تصنيف المثلث حسب الأضلاع إلى مثلث متساوي الأضلاع، ومثلث مختلف الأضلاع، وأخر متساوي الساقين، كما يمكن تصنيف المثلث بحسب زواياه إلى مثلث حاد الزاوية وهو المثلث الذي يكون مجموع زواياه اقل من 90درجة، أما المثلث منفرج الزاوية فيكون قياس إحدى زواياه الثلاثة أكبر من 90درجة وأقل من 180 درجة، بينما المثلث القائم الزاوية فيكون قياس أي زاوية من زواياه يساوي 90 درجة.
خصائص المثلث
للمثلث كغيره من الأشكال الهندسية مجموعة من الخصائص التي تميزه، ومن الخصائص التي تميز المثلث ما يلي:
1 – تقع الزوايا المتساوية في مقابل الأضلاع المتساوية والعكس.
2- مجموع زوايا المثلث يساوي 180 درجة أي أن له زاويتان قائمتان قياس الواحدة منهما يساوي 90 درجة.
3- لا يحتوي المثلث المنفرج الزاوية على أكثر من زاوية قائمة.
4- لا يحتوي المثلث المنفرج على أكثر من زاوية منفرجة.
5- في أي مثلث لا توجد أقطار.
6- يكون أكبر طول ضلع في أي مثلث مقابلاً لأكبر زواياه قياساً.
7- يساوي مقدار قياس الزاوية الثالثة في أي مثلث مجموع قياس أي زاويتين داخليتين فيه.
8- الزوايا المتناظرة في أي مثلث تكون متطابقة، بينما الأضلاع المتناظرة تكون متساوية الطول.
نظريات في المثلثات
منصف زاوية الرأس بأي مثلث متساوي الساقين ينصف القاعدة ويكون عامودي عليها.
الزاوية الخارجية في المثلث تكون أكبر من أي زاوية داخلية ما عدا المجاورة لها.
يقابل الضلع الكبير في أي مثلث زاويته الكبيرة، والعكس صحيح.
مجموع أي ضلعين في المثلث يكونان أكبر من الضلع الثالث, ويكون الفرق بين أي ضلعين أصغر من ضلع المثلث الثالث.
تكمل الزاوية الخارجية بالمثلث الزاوية الداخلية الملتصقة بها ويكون قياسهما 180 درجة.
قانون محيط المثلث ومساحته
مساحة المثلث
لحساب مساحة المثلث توجد قاعدة معروفة لحساب مساحة المثلث ويمكن تطبيقها على كل المثلثات، وهي :
مساحة المثلث = نصف طول القاعدة × الارتفاع
مساحة المثلث = (طول القاعدة × الارتفاع ) ÷ 2
مساحة مثلث قائم الزاوية = طول ضلعي الزاوية القائمة ÷ 2
مساحة المثلث متساوي الأضلاع = الضلع 2× (الجذر التربيعي 3) / 4
أمثلة على حساب مساحة المثلث
مثال: مثلث متساوي الساقين طول ضلعه 8 سم و طول قاعدته 8 و طول ارتفاعه 8 سم ، ما مساحة المثلث ؟
بتطبيق قانون مساحة المثلث فإن مساحة المثلث = نصف طول القاعدة × الارتفاع = 4 × 8 = 32 سم 2
أو مساحة المثلث = (طول القاعدة × الارتفاع ) ÷ 2 = 8×8 =64 ÷2 =32 سم مربع.
مثال، احسب مساحة مثلث قائم الزاوية طول الضلع القائم يساوي 8 سم و طول قاعدة الضلع القائم يساوي 8 سم .
مساحة مثلث قائم الزاوية = طول ضلعي الزاوية القائمة ÷ 2 = طول ضلع القائمة × طول ضلع قاعدة القائم ÷ 2 = 8×8 = 64 ÷ 2 = 32 سم مربع
ملاحظة
في المثلث القائم الزاوية عندما يكون أحد طول الأضلاع مجهول نجد قيمة المجهول على قانون فيثاغورس وهو مربع طول الوتر = مربع طول الضلع الأول القائم + مربع طول الضلع الثاني القائم.
محيط المثلث
قبل حساب محيط أي مثلث يجب أولا إيجاد القيمة الصحيحة التي تعبر عن محيطه، وذلك عن طريق:
معرفة قيم جميع أضلاعه، ثم كتابة قانون محيط المثلث والذي يساوي (مجموع أطوال أضلاعه).
أمثلة على حساب محيط المثلث :
مثال : في مثلّث متساوي الساقين، طول أحد الضلعين المتساويين يساوي 10 سم وطول الضلع الثالث يساوي 15 سم، ما محيطه؟
طول محيط المثلث يساوي ( 10 x 2 + 15 ) = 35 سم.
مثال : في مثلث متساوي الأضلاع، وكان طول أحد الأضلاع يساوي 10 سم، فما محيط المثلث؟
طول محيط المثلث يساوي (10 x 3) ويساوي 30 سم.
أنواع المثلثات
يمكن تصنيف المثلث حسب الأضلاع إلى مثلث متساوي الأضلاع، ومثلث مختلف الأضلاع، وأخر متساوي الساقين، كما يمكن تصنيف المثلث بحسب زواياه إلى مثلث حاد الزاوية وهو المثلث الذي يكون مجموع زواياه اقل من 90درجة، أما المثلث منفرج الزاوية فيكون قياس إحدى زواياه الثلاثة أكبر من 90درجة وأقل من 180 درجة، بينما المثلث القائم الزاوية فيكون قياس أي زاوية من زواياه يساوي 90 درجة.
خصائص المثلث
للمثلث كغيره من الأشكال الهندسية مجموعة من الخصائص التي تميزه، ومن الخصائص التي تميز المثلث ما يلي:
1 – تقع الزوايا المتساوية في مقابل الأضلاع المتساوية والعكس.
2- مجموع زوايا المثلث يساوي 180 درجة أي أن له زاويتان قائمتان قياس الواحدة منهما يساوي 90 درجة.
3- لا يحتوي المثلث المنفرج الزاوية على أكثر من زاوية قائمة.
4- لا يحتوي المثلث المنفرج على أكثر من زاوية منفرجة.
5- في أي مثلث لا توجد أقطار.
6- يكون أكبر طول ضلع في أي مثلث مقابلاً لأكبر زواياه قياساً.
7- يساوي مقدار قياس الزاوية الثالثة في أي مثلث مجموع قياس أي زاويتين داخليتين فيه.
8- الزوايا المتناظرة في أي مثلث تكون متطابقة، بينما الأضلاع المتناظرة تكون متساوية الطول.
نظريات في المثلثات
منصف زاوية الرأس بأي مثلث متساوي الساقين ينصف القاعدة ويكون عامودي عليها.
الزاوية الخارجية في المثلث تكون أكبر من أي زاوية داخلية ما عدا المجاورة لها.
يقابل الضلع الكبير في أي مثلث زاويته الكبيرة، والعكس صحيح.
مجموع أي ضلعين في المثلث يكونان أكبر من الضلع الثالث, ويكون الفرق بين أي ضلعين أصغر من ضلع المثلث الثالث.
تكمل الزاوية الخارجية بالمثلث الزاوية الداخلية الملتصقة بها ويكون قياسهما 180 درجة.
قانون محيط المثلث ومساحته
مساحة المثلث
لحساب مساحة المثلث توجد قاعدة معروفة لحساب مساحة المثلث ويمكن تطبيقها على كل المثلثات، وهي :
مساحة المثلث = نصف طول القاعدة × الارتفاع
مساحة المثلث = (طول القاعدة × الارتفاع ) ÷ 2
مساحة مثلث قائم الزاوية = طول ضلعي الزاوية القائمة ÷ 2
مساحة المثلث متساوي الأضلاع = الضلع 2× (الجذر التربيعي 3) / 4
أمثلة على حساب مساحة المثلث
مثال: مثلث متساوي الساقين طول ضلعه 8 سم و طول قاعدته 8 و طول ارتفاعه 8 سم ، ما مساحة المثلث ؟
بتطبيق قانون مساحة المثلث فإن مساحة المثلث = نصف طول القاعدة × الارتفاع = 4 × 8 = 32 سم 2
أو مساحة المثلث = (طول القاعدة × الارتفاع ) ÷ 2 = 8×8 =64 ÷2 =32 سم مربع.
مثال، احسب مساحة مثلث قائم الزاوية طول الضلع القائم يساوي 8 سم و طول قاعدة الضلع القائم يساوي 8 سم .
مساحة مثلث قائم الزاوية = طول ضلعي الزاوية القائمة ÷ 2 = طول ضلع القائمة × طول ضلع قاعدة القائم ÷ 2 = 8×8 = 64 ÷ 2 = 32 سم مربع
ملاحظة
في المثلث القائم الزاوية عندما يكون أحد طول الأضلاع مجهول نجد قيمة المجهول على قانون فيثاغورس وهو مربع طول الوتر = مربع طول الضلع الأول القائم + مربع طول الضلع الثاني القائم.
محيط المثلث
قبل حساب محيط أي مثلث يجب أولا إيجاد القيمة الصحيحة التي تعبر عن محيطه، وذلك عن طريق:
معرفة قيم جميع أضلاعه، ثم كتابة قانون محيط المثلث والذي يساوي (مجموع أطوال أضلاعه).
أمثلة على حساب محيط المثلث :
مثال : في مثلّث متساوي الساقين، طول أحد الضلعين المتساويين يساوي 10 سم وطول الضلع الثالث يساوي 15 سم، ما محيطه؟
طول محيط المثلث يساوي ( 10 x 2 + 15 ) = 35 سم.
مثال : في مثلث متساوي الأضلاع، وكان طول أحد الأضلاع يساوي 10 سم، فما محيط المثلث؟
طول محيط المثلث يساوي (10 x 3) ويساوي 30 سم.
