قوانين الاشتقاق مختصرة هي من اسس علم الرياضيات ، وهذا ما سوف يتم عرضه هو ملخص لقواعد التمايز ، أي قواعد لحساب المشتقة في حساب التفاضل والتكامل .
قواعد الاشتقاق الأساسي
بعض قواعد التمايز هي مفاجأة للتذكر والاستخدام، وتشمل هذه القاعدة الثابتة ، وقاعدة القوة ، وقاعدة متعددة ثابتة ، وقاعدة المبلغ ، وقاعدة الاختلاف .
يتم تقديم القواعد الأساسية لتمايز الوظائف في حساب التفاضل والتكامل جنبا إلى جنب مع العديد من الأمثلة.
1- المشتق من وظيفة ثابتة
مشتق f (x) = c حيث c ثابت : f ‘(x) = 0
2- مشتق من وظيفة الطاقة
مشتق f (x) = x r حيث r هو عدد حقيقي ثابت : f ‘(x) = r x r – 1
3- مشتق من وظيفة مضروبة بثابت
مشتق f (x) = c g (x) ، أي : f ‘(x) = c g’ (x)
4- مشتق من مجموع الدوال (حكم المجموع)
يتم الحصول على مشتق f (x) = g (x) + h (x) أي : f ‘(x) = g’ (x) + h ‘(x)
5- مشتق من اختلاف الوظائف
مشتق f (x) = g (x) – h (x) ، أي : f ‘(x) = g’ (x) – h ‘(x)
6- مشتق لمنتج وظيفتين (قاعدة المنتج)
يتم الحصول على مشتق f (x) = g (x) h (x) ، أي : f ‘(x) = g (x) h’ (x) + h (x) g ‘(x)
7- مشتق من حاصل وظيفتين (قاعدة الحاصل)
مشتق f (x) = g (x) / h (x) ، أي : f ‘(x) = (h (x) g’ (x) – g (x) h ‘(x)) / h (x) 2
حساب التفاضل والتكامل
حساب التفاضل والتكامل هي دراسة رياضية للتغيير المستمر ، بنفس الطريقة التي تدرس بها الهندسة الشكل والجبر، وهي الدراسة من تعميمات العمليات الحسابية، وله فرعان رئيسيان ، حساب التفاضل التفاضلي (فيما يتعلق بمعدلات التغيير الآنية ومنحدرات المنحنيات) ، وحساب التفاضل والتكامل المتكامل (فيما يتعلق بتراكم الكميات والمناطق الواقعة تحت منحنى)، ويرتبط هذان الفروع ببعضهما البعض من خلال نظرية حساب التفاضل والتكامل الأساسية، ويستفيد كلا الفرعين من المفاهيم الأساسية لتلاقي التسلسلات اللانهائية والسلسلة اللانهائية إلى حد محدد جيدًا .
وعموما ، يعتبر حساب التفاضل والتكامل الحديث قد تم تطويره في القرن السابع عشر من قبل إسحاق نيوتن وغوتفريد فيلهلم ليبنيز، واليوم ، يستخدم حساب التفاضل والتكامل الاستخدامات الواسعة في العلوم والهندسة والاقتصاد، وحساب التفاضل والتكامل هو جزء من تعليم الرياضيات الحديثة، والدورة في حساب التفاضل والتكامل هي بوابة لدورات أخرى أكثر تقدما في الرياضيات مكرسة لدراسة الوظائف والحدود ، يطلق عليها على نطاق واسع التحليل الرياضي، وقد سمي حساب التفاضل والتكامل تاريخيا “حساب التفاضل والتكامل من infinitesimals” ، أو “حساب متناهي الصغر “، ويستخدم مصطلح حساب التفاضل والتكامل (calculi) أيضاً لتسمية طرق حسابية معينة أو ترميز ، بالإضافة إلى بعض النظريات ، مثل حساب التفاضل والتكامل ، وحساب التفاضل والتكامل Ricci ، وحساب التباين ، وحساب lambda .
التفاضل والتكامل قديما
تم تطوير حساب التفاضل والتكامل الحديث في أوروبا في القرن السابع عشر من قبل إسحاق نيوتن وغوتفريد فيلهلم ليبنيز (بشكل مستقل عن بعضهما البعض ، نشرهما في نفس الوقت تقريبًا)، لكن عناصر منه ظهرت في اليونان القديمة ، ثم في الصين والشرق الأوسط ، وما زالت في وقت لاحق مرة أخرى في أوروبا في العصور الوسطى والهند، وقد استخدم أرخميدس طريقة الاستنفاد لحساب المساحة تحت القطع المكافئ، وقدمت الفترة القديمة بعض الأفكار التي أدت إلى حساب التفاضل والتكامل ، ولكن لا يبدو أنها طورت هذه الأفكار بطريقة صارمة ومنهجية، وحسابات الحجم والمنطقة ، هدف واحد للحساب التكاملي ، يمكن العثور عليه في بردية موسكو المصرية (الأسرة الثالثة عشرة ، عام 1820 قبل الميلاد) ، لكن الصيغ هي تعليمات بسيطة ، بدون إشارة إلى الطريقة ، وبعضها يفتقر إلى تخصص المكونات .
من عصر الرياضيات اليونانية ، استخدم Eudoxus (حوالي 408-355 قبل الميلاد) طريقة الإنهاك ، التي تنذر بمفهوم الحد ، لحساب المناطق والحجوم ، في حين أن أرخميدس (حوالي 287-212 قبل الميلاد) طور هذه الفكرة بشكل أكبر، واختراع أساليب تجريبية تشبه طرق حساب التفاضل والتكامل، وتم اكتشاف طريقة الاستنفاذ في وقت لاحق بشكل مستقل في الصين من قبل ليو هوي في القرن الثالث الميلادي من أجل العثور على منطقة الدائرة، في القرن الخامس الميلادي ، أسس زو جنجزي ، ابن زو تشونغ تشاي ، طريقة، والتي سميت فيما بعد بمبدأ كافالييري لإيجاد حجم الكرة .
حساب التفاضل والتكامل في القرون الوسطى
في الشرق الأوسط ، اشتهر الحسن بن الهيثم ، وفي القرن الرابع عشر ، أعطى علماء الرياضيات الهنود طريقة غير صارمة تشبه التمايز ، تنطبق على بعض الوظائف المثلثية، وذكرت مادهافا من سانجاماماغراما ومدرسة الفلك والرياضيات في كيرالا بذلك مكونات حساب التفاضل والتكامل، إن النظرية الكاملة التي تشمل هذه المكونات معروفة الآن في العالم الغربي مثل سلسلة تايلور أو تقريب سلسلة لا نهائية، ومع ذلك ، لم يتمكنوا من “الجمع بين العديد من الأفكار المختلفة في إطار الموضوعين الموحدين للمشتق والمتكامل ، وإظهار العلاقة بين الاثنين ، وتحويل حساب التفاضل والتكامل إلى أداة حل المشاكل العظيمة التي لدينا اليوم” .
قواعد الاشتقاق الأساسي
بعض قواعد التمايز هي مفاجأة للتذكر والاستخدام، وتشمل هذه القاعدة الثابتة ، وقاعدة القوة ، وقاعدة متعددة ثابتة ، وقاعدة المبلغ ، وقاعدة الاختلاف .
يتم تقديم القواعد الأساسية لتمايز الوظائف في حساب التفاضل والتكامل جنبا إلى جنب مع العديد من الأمثلة.
1- المشتق من وظيفة ثابتة
مشتق f (x) = c حيث c ثابت : f ‘(x) = 0
2- مشتق من وظيفة الطاقة
مشتق f (x) = x r حيث r هو عدد حقيقي ثابت : f ‘(x) = r x r – 1
3- مشتق من وظيفة مضروبة بثابت
مشتق f (x) = c g (x) ، أي : f ‘(x) = c g’ (x)
4- مشتق من مجموع الدوال (حكم المجموع)
يتم الحصول على مشتق f (x) = g (x) + h (x) أي : f ‘(x) = g’ (x) + h ‘(x)
5- مشتق من اختلاف الوظائف
مشتق f (x) = g (x) – h (x) ، أي : f ‘(x) = g’ (x) – h ‘(x)
6- مشتق لمنتج وظيفتين (قاعدة المنتج)
يتم الحصول على مشتق f (x) = g (x) h (x) ، أي : f ‘(x) = g (x) h’ (x) + h (x) g ‘(x)
7- مشتق من حاصل وظيفتين (قاعدة الحاصل)
مشتق f (x) = g (x) / h (x) ، أي : f ‘(x) = (h (x) g’ (x) – g (x) h ‘(x)) / h (x) 2
حساب التفاضل والتكامل
حساب التفاضل والتكامل هي دراسة رياضية للتغيير المستمر ، بنفس الطريقة التي تدرس بها الهندسة الشكل والجبر، وهي الدراسة من تعميمات العمليات الحسابية، وله فرعان رئيسيان ، حساب التفاضل التفاضلي (فيما يتعلق بمعدلات التغيير الآنية ومنحدرات المنحنيات) ، وحساب التفاضل والتكامل المتكامل (فيما يتعلق بتراكم الكميات والمناطق الواقعة تحت منحنى)، ويرتبط هذان الفروع ببعضهما البعض من خلال نظرية حساب التفاضل والتكامل الأساسية، ويستفيد كلا الفرعين من المفاهيم الأساسية لتلاقي التسلسلات اللانهائية والسلسلة اللانهائية إلى حد محدد جيدًا .
وعموما ، يعتبر حساب التفاضل والتكامل الحديث قد تم تطويره في القرن السابع عشر من قبل إسحاق نيوتن وغوتفريد فيلهلم ليبنيز، واليوم ، يستخدم حساب التفاضل والتكامل الاستخدامات الواسعة في العلوم والهندسة والاقتصاد، وحساب التفاضل والتكامل هو جزء من تعليم الرياضيات الحديثة، والدورة في حساب التفاضل والتكامل هي بوابة لدورات أخرى أكثر تقدما في الرياضيات مكرسة لدراسة الوظائف والحدود ، يطلق عليها على نطاق واسع التحليل الرياضي، وقد سمي حساب التفاضل والتكامل تاريخيا “حساب التفاضل والتكامل من infinitesimals” ، أو “حساب متناهي الصغر “، ويستخدم مصطلح حساب التفاضل والتكامل (calculi) أيضاً لتسمية طرق حسابية معينة أو ترميز ، بالإضافة إلى بعض النظريات ، مثل حساب التفاضل والتكامل ، وحساب التفاضل والتكامل Ricci ، وحساب التباين ، وحساب lambda .
التفاضل والتكامل قديما
تم تطوير حساب التفاضل والتكامل الحديث في أوروبا في القرن السابع عشر من قبل إسحاق نيوتن وغوتفريد فيلهلم ليبنيز (بشكل مستقل عن بعضهما البعض ، نشرهما في نفس الوقت تقريبًا)، لكن عناصر منه ظهرت في اليونان القديمة ، ثم في الصين والشرق الأوسط ، وما زالت في وقت لاحق مرة أخرى في أوروبا في العصور الوسطى والهند، وقد استخدم أرخميدس طريقة الاستنفاد لحساب المساحة تحت القطع المكافئ، وقدمت الفترة القديمة بعض الأفكار التي أدت إلى حساب التفاضل والتكامل ، ولكن لا يبدو أنها طورت هذه الأفكار بطريقة صارمة ومنهجية، وحسابات الحجم والمنطقة ، هدف واحد للحساب التكاملي ، يمكن العثور عليه في بردية موسكو المصرية (الأسرة الثالثة عشرة ، عام 1820 قبل الميلاد) ، لكن الصيغ هي تعليمات بسيطة ، بدون إشارة إلى الطريقة ، وبعضها يفتقر إلى تخصص المكونات .
من عصر الرياضيات اليونانية ، استخدم Eudoxus (حوالي 408-355 قبل الميلاد) طريقة الإنهاك ، التي تنذر بمفهوم الحد ، لحساب المناطق والحجوم ، في حين أن أرخميدس (حوالي 287-212 قبل الميلاد) طور هذه الفكرة بشكل أكبر، واختراع أساليب تجريبية تشبه طرق حساب التفاضل والتكامل، وتم اكتشاف طريقة الاستنفاذ في وقت لاحق بشكل مستقل في الصين من قبل ليو هوي في القرن الثالث الميلادي من أجل العثور على منطقة الدائرة، في القرن الخامس الميلادي ، أسس زو جنجزي ، ابن زو تشونغ تشاي ، طريقة، والتي سميت فيما بعد بمبدأ كافالييري لإيجاد حجم الكرة .
حساب التفاضل والتكامل في القرون الوسطى
في الشرق الأوسط ، اشتهر الحسن بن الهيثم ، وفي القرن الرابع عشر ، أعطى علماء الرياضيات الهنود طريقة غير صارمة تشبه التمايز ، تنطبق على بعض الوظائف المثلثية، وذكرت مادهافا من سانجاماماغراما ومدرسة الفلك والرياضيات في كيرالا بذلك مكونات حساب التفاضل والتكامل، إن النظرية الكاملة التي تشمل هذه المكونات معروفة الآن في العالم الغربي مثل سلسلة تايلور أو تقريب سلسلة لا نهائية، ومع ذلك ، لم يتمكنوا من “الجمع بين العديد من الأفكار المختلفة في إطار الموضوعين الموحدين للمشتق والمتكامل ، وإظهار العلاقة بين الاثنين ، وتحويل حساب التفاضل والتكامل إلى أداة حل المشاكل العظيمة التي لدينا اليوم” .
